Ahil i kornjača

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Zenonovi paradoksi su zbunili, izazvali, utjecali, inspirisali i zadivljavali filozofe, matematičare, fizičare i školsku djecu, preko dvije hiljade godina. Najpoznatini su takozvani „argumenti protiv kretanja“ opisani u Aristotelovoj Fizici. Jedan od njih je dat niže, sa imenom koje mu je dao Aristotel, sa modernim objašnjenjima:

Ahil i kornjača: „U utrci, najbrži trkač nikada ne može prestići najsporijeg, zato što gonitelj prvo mora doći do tačke odakle je gonjeni pošao, pa prema tome najsporiji uvijek ima prednost.“ (Aristotelova Fizika VI:9, 239b15) Zamislite da Ahil trči protiv kornjače. Ahil trči 10 puta brže od kornjače, ali počinje od tačke A, 100 metara iza kornjače koja je u tački K1 (kornjači ,koja je sporija, data je prednost). Da bi prestigao kornjaču, Ahil mora prvo doći do tačke K1. Međutim, kada je Ahil stigao do tačke K1, kornjača je prešla 10 metara i došla do tačke K2. Ponovo Ahil trči do K2. Ali, kao i prije, kada je prešao 10 metara kornjača je metar ispred njega, kod tačke K3, i tako dalje (kornjača će uvijek imati prednost nad Ahilom, ne bitno koliko mala ona bila). Prema tome Ahil nikada ne može prestići kornjaču.

A----------------------------K1----------------K2---K3

[uredi] Predložena rješenja za paradoks „Ahil i kornjača“

Oba paradoksa, Ahil i kornjača i Dihotomija, zavise od podijele udaljenosti na nizove udaljenosti koji postaju sve manji, pa su i subjekt istim protu-argumentima.

Aristotel je istakao da kao što se udaljenost smanjuje, vrijeme potrebno da se ta udaljenost pređe takođe se smanjuje. Takav pristup riješavanju paradoksa bi doveo do demanta tvrdnje da je potrebno beskonačno mnogo vremena da se pređe preko beskonačno mnogo udaljenosti.

Prije 212. p.n.e., Arhimed je razvio metod da izvede konačni odgovor za beskonačno mnogo članova koji postaju progresivno manji. Teoreme su razvijene u modernijim oblicima da bi postigle isti rezultat, ali sa tačnijom metodom za dokazivanje. Ove metode dozvoljavaju konstrukciju riješenja koje kažu da (pod normalnim uslovima) ako se udaljenosti stalno smanjuju, vrijeme je konačno.

Ova riješenja su u biti geometrijski nizovi. Opći geometrijski nizovi se mogu pisati kao

$a\sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{x} \right)^k,$

što je jednako ax/ (x - 1) uzevši da je x > 1 (u suprotnom niz je divergentan). Paradoksi se mogu riješiti pomoću geometrijskih sekvenci (nizova), ali je jednostavnije koristiti Aristotelovo riješenje, koje u obzir uzima vrijeme (a ne udaljenosti kao u nizovima) koje je potrebno Ahilu da sustigne kornjaču.

U slučaju Ahila i kornjače, treba zamisliti da kornjača trči sa konstantnom brzinom od v metara u sekundi (ms^-1) i da dobija prednost od udaljenosti d metara (m), a da Ahil trči sa konstantnom brzinom od xv ms^-1 sa x > 1. Ahileju je potrebno d/xv sekundi (s) da dođe do tačke sa koje je kornjača otpočela trku, a za to vrijeme kornjača je prešla d/x m. Poslije dužeg vremena d/x²v s, Ahil ima još jednu d/x m, i tako dalje. Prema tome, vrijeme potrebno Ahileju da sustigne kornjaču je