Equacions de Cauchy-Riemann

De Viquipèdia

Les equacions de Cauchy-Riemann caracteritzen les funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex entre les funcions diferenciables en sentit real : són condicions necessàries i suficients relatives a les derivades parcials d'una funció diferenciable en sentit real perquè sigui diferenciable en sentit complex.

Considerem aquí una funció $\ f : U \to \mathbb{{C}}$ d'una variable complexa, definida en un obert U de $\mathbb{{C}}$ . Emprem les notacions següents :

la variable complexa $\ z$ es nota per $\ x + i\, y$ , on x, y són reals
les parts real i imaginària de $\ f(z) = f(x + i\, y)$ es noten respectivament per $\ P(x, y)$ i $\ Q(x, y)$ , es a dir : $\ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y)$ , on $\ P,\, Q$ són dues funcions reals de dues variables reals.

Les equacions de Cauchy-Riemann en $\ z_0 = x_0 + i\, y_0$ es poden escriure sota les formes equivalents següents :

$\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$
$\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$ i $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$
$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0$

Taula de continguts

1 Funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex
- 1.1 Definició
- 1.2 Un cas important
2 Caracterització de les funcions diferenciables en sentit complex

[edita] Funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex

[edita] Definició

Diem que la funció $f : U \to \mathbb{C}$ és diferenciable en sentit complex, o $\mathbb{C}$ -diferenciable (o derivable) en un punt $\ z_0 \in U$ si existeix el límit (finit) $f'(z_0) = \lim_{h \to 0,\, h\, \in\, \mathbb{C}^*} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$ , anomenat derivada de f en $\ z_0$ .

Fixem-nos que aquesta condició de $\mathbb{{C}}$ -diferenciabilitat per a funcions de variable complexa és molt més restrictiva que l'equivalent per a funcions de variable real. L'origen d'això es troba en el fet que per a funcions de variable real per a la diferenciabilitat en un punt només cal exigir que existeixin i siguin iguals els límits per la dreta i per l'esquerra quan els increments Δx tendeixen a zero, ja que són les dues úniques possibilitats d'aproximar-se al punt. En canvi, en el pla complex hi ha infinites possibilitats (infinits camins) per aproximar-se a un punt determinat.

[edita] Un cas important

Es diu que una funció és holomorfa en un obert de $\mathbb{C}$ si és $\mathbb{C}$ -diferenciable en tot punt d'aquell obert.

[edita] Caracterització de les funcions diferenciables en sentit complex

[edita] Teorema

Les funcions -diferenciables en un punt (on són reals) son aquelles funcions
- diferenciables en sentit real en $\ z_0$
- i que, a més a més, compleixen les equacions de Cauchy-Riemann en aquest punt. Aquelles equacions es poden escriure sota les formes equivalents següents :
  - $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$
  - $\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$ i $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$
  - $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0$
En aquest cas :
- la diferencial de $\ f$ al punt $\ z_0$ és l'aplicació $\ df(z_0) : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, h \mapsto f'(z_0)\, h$
- $\ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0)$

[edita] Demostració del teorema

Es conserven les notacions precedents ; en particular, es nota per r un real tal que $\ r > 0$ i $\ B(z_0,\, r) \subset U$ , i per h un nombre complex tal que $\ |h| < r$ .

Suposem que sigui -diferenciable en : aleshores quan (hem notat per la derivada ).
- Es defineix (funció d'una variable complexa):
  - $\ \epsilon(0) = 0$
  - $\epsilon(h) = \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - A$ si $h \neq 0$ (*). Aleshores (per definició de A): $\epsilon(h) \to 0$ quan $h \to 0$
  - (*) es pot escriure : $f(z_0+h) = f(z_0) + A\, h + h\, \epsilon(h)$ (quan $\ h \neq 0$ , i també quan $\ h = 0$ ),
  - o sigui : $f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h)$ , on $\ L(h) = A\, h$ (**)
- És clar que l'aplicació és -lineal (fins i tot -lineal, propietat més forta). Per tant :
  - $\ f$ és $\mathbb{R}$ -diferenciable en $\ z_0$
  - $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1) = A$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i) = A\, i$ , i finalment : $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ .
Recíproca : suposem que sigui -diferenciable en i que , altrament dit : , on (no s'utilitza aquí cap hipòtesi de continuïtat de les derivades parcials : la hipòtesi precedent concerneix un únic punt. Es podria imaginar que no fos diferenciable en cap altre punt).
- Per hipòtesi, en notar per L la -diferencial de en :
  - $f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h)$ , on $\epsilon(h) \to 0$ quan $h \to 0$
  - Si $\ h = u + i\, v$ (u, v reals), aleshores per $\mathbb{R}$ -linealitat de L : $\, L(h) = u\, L(1)+ v\, L(i) = u\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)+ v\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = u\, A + v\, i\, A = A\, (u + i\, v) = A\, h$
  - Per tant : $f(z_0+h) = f(z_0) + A\, h + h\, \epsilon(h)$ , i $\epsilon(h) \to 0$ quan $h \to 0$
  - Si $h \neq 0$ , s'en dedueix que : $\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = A + \epsilon(h) \to A$ quan $h \to 0$ . L'existència d'aquest límit prova que $\ f$ és $\mathbb{C}$ -diferenciable en $\ z_0$ (es a dir : $\ f'(z_0)$ existeix), i que $\ f'(z_0) = A \left(= \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)\right)$ .
  - Això prova també que quan és -diferenciable en :
    - la seva diferencial és l'aplicació $\ L : \mathbb{C} \to \mathbb{C},\, h \mapsto A\, h = f'(z_0)\, h$
    - $\ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0)$ , perquè $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0$ .

[edita] Un cas important

La caracterització següent de les funcions holomorfes és una conseqüència immediata del teorema precedent, aplicat en cada punt.

Teorema : una funció $\ f : U \to \mathbb{C}$ és holomorfa en l'obert U de $\mathbb{C}$ si i només si :

és diferenciable en sentit real en tot punt de U,
i compleix les equacions de Cauchy-Riemann en tot punt de U

[edita] Exemples

La funció és (almenys) de classe en , per tant hi és -diferenciable ; però no és -diferenciable en cap punt, perquè no compleix les equacions de Cauchy-Riemann en cap punt. En efecte, com que :
- $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 1$
- $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -i$ : per a tot $\ z \in \mathbb{C}$ , $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) \neq i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z)$ .
La funció $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto |z|^2$ és (almenys) de classe $\ C^1$ en $\mathbb{C}$ , per tant hi és $\mathbb{R}$ -diferenciable ; és $\mathbb{C}$ -diferenciable en 0 i només en aquest punt (no és holomorfa en cap obert : el conjunt $\ \{0\}$ dels seus punts de $\mathbb{C}$ -diferenciabilitat té interior buit).
La funció és holomorfa en i per a tot , . En efecte, si i , quan . Es té , per tant :
- $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 2\, x + 2\, i\, y = 2\, z$
- $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -2\, y + 2\, i\, x = 2\, i\, z = i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z)$ (equacions de Cauchy-Riemann en z).

[edita] Una funció $\mathbb{R}$ -diferenciable en $\mathbb{C}$ i $\mathbb{C}$ -diferenciable en 0, les derivades parcials de la qual no són contínues en 0

Es defineix :
- $f(z) = x\, y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ si $\ z \neq 0$
- $\ f(0) = 0$
La funció $\ f$ és (almenys) de classe $\ C^1$ en $\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{0\}$ ; per tant, és $\mathbb{R}$ -diferenciable en $\mathbb{C}^*$ .
$\forall z \in \mathbb{C}^*$ , $\ | f(z) | \leq |x\, y | \leq \frac{1}{2}\, \left(x^2 + y^2\right) = \frac{1}{2}\, |z|^2$ ; per tant $\left| \frac{f(z) - f(0)}{z - 0} \right| =\frac{|f(z)|}{|z|} \leq \frac{1}{2}\, |z|$ , i s'en dedueix que $\frac{f(z) - f(0)}{z - 0} \to 0$ quan $z \to 0$ : $\ f$ és $\mathbb{C}$ -diferenciable en 0 i $\ f'(0) = 0$ ; a fortiori, $\ f$ és $\mathbb{R}$ -diferenciable en 0 i $\ \frac{\partial f}{\partial x}(0) = f'(0) = 0$ , $\ \frac{\partial f}{\partial y}(0) = i f'(0) = 0$ (hem provat que $\ f$ és $\mathbb{R}$ -diferenciable en $\mathbb{C}^* \cup \{0\} =\mathbb{C}$ )
Si $\ z \neq 0$ , $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \frac{x^2 y}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \cos \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ .
Per a tot $\ k \in \mathbb{N}^*$ , sigui $\ z_k = \frac{1 + i}{k\, \pi \sqrt{2}}$ . Un càlcul elemental dóna : per a tot $\ k \in \mathbb{N}^*, \frac{\partial f}{\partial x}(z_k) = \frac{(-1)^{k-1}}{2^{3/2}}$ .
Com que $\ z_k \to 0$ quan $k \to +\infty$ i $\frac{\partial f}{\partial x} (z_k)$ no convergeix cap a $\frac{\partial f}{\partial x}(0) = 0$ , la funció $\ \frac{\partial f}{\partial x}$ no és contínua en 0. Es demostra de la mateixa manera que la funció $\ \frac{\partial f}{\partial y}$ tampoc no és contínua en 0.