Teorema d'existència i unicitat d'EDO

De Viquipèdia

El Teorema d'existència i unicitat d'EDO, és a dir, d'equacions diferencials ordinàries, diu així:

Sigui X un espai de Banach, i sigui una aplicació tal que

per algun (es diu que f és una funció Lipschitz de constant L). Aleshores per qualsevol existeix una funció única

diferenciable, tal que es compleix

A més, es té dependència contínua de la solució respecte la condició inicial i es poden obtenir estimacions sobre la regularitat de la solució.

Demostració: Existència. L'equació que cal resoldre és equivalent a

Donat un k > 0 (que es fixarà més endavant), s'introdueix l'espai

Es comproven les propietats següents:

• E és un espai de Banach amb la norma

• Per tot la funció

pertany a E.

• 

Quan k > L, pel teorema del punt fix de Banach, l'aplicació Φ és contractiva i admet un punt fix, que és una solució.

Unicitat. Siguin u i v dues solucions. Posant

s'obté, a partir de la representació integral de les solucions,

i això implica que

Regularitat.

...

Dependència contínua de les condicions inicials.

...