Cyklická grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice se pojemem cyklická grupa označuje grupa, která může být generována jedním jediným prvkem (to znamená, že v grupě existuje prvek a tak, že každý prvek grupy je mocninou a). Tento prvek se nazývá generátor cyklické grupy.

Cyklická grupa může mít více než jeden generátor. Například grupa všech celých čísel mod 5 se sčítáním má čtyři generátory: 1, 2, 3 a 4.

[editovat] Definice

(G,·) je cyklická grupa právě tehdy, když je grupa a existuje g∈G takový, že G={gⁿ|n∈ℕ}. g⁰=1, gⁿ=g·g^n-1. Takovému g se říká generátor.

[editovat] Základní vlastnosti cyklických grup

Každá cyklická grupa je automaticky Abelova, neboť generátor komutuje sám se sebou. To je důsledkem pravidla asociativity, které platí v každé grupě.

Nechť $A, B$ jsou dvě konečné cyklické grupy, které mají stejný počet prvků. Pak tyto dvě grupy jsou izomorfní. Důkaz: stačí zobrazit generátor jedné grupy na generátor druhé.

[editovat] Příklady cyklických grup

Každá konečná grupa, která má prvočíselný počet prvků, je cyklická. Plyne to z Lagrangeovy věty.

Cyklické však mohou být i grupy s neprvočíselným počtem prvků. Například každá grupa

(kde operace +, - jsou brány mod n) je cyklická.

Příkladem nekonečné cyklické grupy je grupa celých čísel se sčítáním

Tato grupa má dva generátory 1,-1. Naproti tomu grupa reálných čísel na sčítání není cyklická. Všechny nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní grupě celých čísel.

Mezi významné cyklické grupy patří grupy jednotek v některých okruzích (tyto grupy jsou grupami vzhledem k násobení, ne ke sčítání).

Dalším příkladem cyklických grup jsou grupy symetrií pravidelného n-úhelníka vůči operaci skládání zobrazení.

[editovat] Věty o cyklických grupách

Každá konečná podgrupa multiplikativní grupy libovolného tělesa je cyklická. Jednoduchý důkaz vychází z vlastností Eulerovy funkce a ze skutečnosti, že polynom nad tělesem nemůže mít více kořenů, než je jeho stupeň.

Každá konečná cyklická grupa řádu n má právě $\varphi(n)$ různých generátorů, kde $\varphi(n)$ je Eulerova funkce.

Všechny sčítací grupy $(\mathbb Z_n,+,-,0)$ jsou cyklické. Naproti tomu multiplikativní grupy jednotek $(\mathbb Z_n^*,*,^{-1},1)$ jsou cyklické jen v následujících případech: $n = 2, n = 4, n = p k, n = 2 p k$ , p liché prvočíslo a k přirozené číslo.