Jazyk (logika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematické logice se pod pojmem jazyk rozumí pevně zvolená množina symbolů pomocí nichž se vytvářejí formule. Pojem jazyka náleží do oblasti logické syntaxe.

Obsah

1 Definice
2 Kardinalita jazyka
3 Příklady
4 Podívejte se také na

[editovat] Definice

Každý jazyk se skládá ze symbolů dvou druhů - logických, které jsou povinně prvky každého jazyka a mimologických, které se mohou pro různé jazyky lišit.

[editovat] Logické symboly jazyka

Logické symboly jazyka jsou:

spočetně mnoho symbolů pro proměnné: $v_0,v_1, \ldots$ (V matematické praxi se obvykle proměnné značí písmeny $x,y,z, \ldots$ , vždy to však lze chápat tak, že tato písmena jsou ve skutečnosti nějaká $\,v_i$ .)
symboly pro logické spojky: $\neg$ , $\rightarrow$ (případně ještě $\vee$ , $\and$ , $\leftrightarrow$ , tyto symboly však lze zavést také definicí)
symboly pro kvantifikátory: $\forall$ (případně $\exists$ , který lze zavést definicí)
symbol pro rovnost: $\,=$ (pokud jde o jazyk logiky s rovností)
pomocné symboly: ( a )

[editovat] Mimologické symboly jazyka

Mimologické symboly jazyka mohou být libovolné symboly různé od symbolů logických a také vzájemně po dvou různé. Může jich být libovolně (i nekonečně) mnoho. Ke každému mimologickému symbolu je zároveň přiřazen jeho druh a četnost (arita). Existují tři druhy mimologických symbolů:

Konstantní symboly
Funkční symboly
Predikátové symboly

Signatura je funkce $\,\sigma$ definovaná na množině všech mimologických symbolů přiřazující každému mimologickému symbolu S přirozené číslo $\,\sigma(S)$ nazývané četnost (arita) symbolu S tak, že $σ(c) = 0$ pro každý konstantní symbol c. Funkční resp. predikátový symbol četnosti n se také nazývá n-ární funkční resp. predikátový symbol.

[editovat] Jazyk

Jazykem rozumíme trojici $\,<LS,MLS,\sigma>$ , kde LS jsou všechny logické symboly jazyka, MLS mimologické symboly a $\,\sigma$ signatura pro tyto mimologické symboly. Jazyk se obvykle zadává pouze vypsáním jeho mimologických symbolů a stanovením jejich četností, neboť logické symboly jsou společné pro všechny jazyky.

[editovat] Kardinalita jazyka

Kardinalita jazyka je maximum z mohutnosti množiny jeho mimologických symbolů a kardinálu $\aleph_0$ (viz funkce alef).

[editovat] Příklady

Jazyk, který má jediný mimologický symbol $\,\in$ , který je predikátový četnosti 2, se nazývá jazykem teorie množin. Zapisuje se často jako $\,<\in>$ . Symbol $\,\in$ popisuje relaci „být prvkem“.
Jazyk, který má jeden konstantní symbol: $\,0$ , jeden predikátový symbol: $\leq$ četnosti 2 a tři funkční symboly: $\,S$ četnosti 1, $\,+$ četnosti 2 a $\,\cdot$ četnosti 2, se nazývá jazyk aritmetiky (Symbol $\,S$ označuje operaci následníka (tj. přičtení jedničky), ostatní symboly mají klasické významy).