Křivost křivky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Křivost křivky určuje její odchylku od přímého směru.

Rozlišuje se první křivost, která určuje odchylku křivky od přímky v oskulační rovině a druhá křivost, která určuje odchylku křivky od oskulační roviny.

Obsah

1 První křivost
2 Druhá křivost
3 Geometrický význam první a druhé křivosti
4 Přirozené rovnice křivky
5 Podívejte se také na

[editovat] První křivost

Projekt Wikiknihy nabízí knihu na téma:

Křivost křivky

Projekt Wikiknihy nabízí knihu na téma:

První křivost na křivce

Je-li parametrem křivky její oblouk $s$ , pak lze v každém bodě křivky definovat tzv. první křivost (flexi) křivky $k 1$ vztahem

$k_1 = \sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}} = \sqrt{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}\cdot\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}} = \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2}$ ,

kde $\mathbf{r}$ je polohový vektor bodu křivky a $\mathbf{t}$ je jednotkový tečný vektor křivky v bodě $\mathbf{r}$ .

Je-li křivka určena obecným parametrem $t$ , pak je první křivost dána vztahem

$k_1 = \frac{1}{{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}t}} = \frac{1}{{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \sqrt{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\cdot\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}} = \frac{1}{{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2}$

Poloměr křivosti r křivky C v bodě P.

Reciproká hodnota první křivosti se nazývá poloměr první křivosti

$r_1 = \frac{1}{k_1}$

Pokud ve všech bodech křivky platí $k 1 = 0$ , pak je křivka přímkou.

Pro rovinnou křivku danou rovnicí $y = f (x)$ je první křivost $k 1$ v bodě $[x, y]$ určena často užívaným vztahem

$k_1 = \left| \frac{\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}}{{\left[1+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}^2\right]}^\frac{3}{2}} \right|$

[editovat] Druhá křivost

Projekt Wikiknihy nabízí knihu na téma:

Křivost křivky

Je-li parametrem křivky její oblouk $s$ pak lze v každém bodě křivky definovat tzv. druhou křivost (torzi, kroucenost) křivky $k 2$ vztahem

$k_2 = \frac{\begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} & \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} \\ \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}s^2} & \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}s^2} & \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}s^2} \\ \frac{\mathrm{d}^3 x}{\mathrm{d}s^3} & \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}s^3} & \frac{\mathrm{d}^3 z}{\mathrm{d}s^3} \end{vmatrix}}{{\left(\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}s^2}\right)}^2}$

Je-li křivka určena obecným parametrem $t$ , pak je druhá křivost dána vztahem

$k_2 = \frac{\begin{vmatrix} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \\ \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} & \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} & \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} \\ \frac{\mathrm{d}^3 x}{\mathrm{d}t^3} & \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}t^3} & \frac{\mathrm{d}^3 z}{\mathrm{d}t^3} \end{vmatrix}}{ {\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2 \left[{\left(\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2 + {\left(\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}\right)}^2 \right]}$

Reciproká hodnota druhé křivosti se nazývá poloměr druhé křivosti (torze)

$r_2 = \frac{1}{k_2}$

Pokud ve všech bodech křivky platí $k 2 = 0$ , pak je křivka rovinná.

[editovat] Geometrický význam první a druhé křivosti

K vysvětlení geometrického významu první a druhé křivosti.

Velikost úhlu tečen $\mathbf{t}_0$ a $\mathbf{t}(s)$ , kde $s > 0$ , přičemž tečny jsou v bodech $P (0)$ a $Q (s)$ křivky $r = r(s)$ , označme $\varphi(s)$ . Pak platí

$\lim_{s\to 0}\frac{\varphi}{s} = {\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s}\right)}_0 = {(k_1)}_0$

Je-li $Δ s$ oblouk křivky mezi dvěma blízkými body a $\Delta \varphi$ je velikost úhlu mezi směry tečen v těchto bodech, pak se $\frac{\Delta \varphi}{\Delta s}$ označuje jako průměrná první křivost křivky na daném oblouku $s$ křivky. Úhel $\Delta\varphi$ tečen $\mathbf{t}_0$ a $\mathbf{t}(\Delta s)$ se označuje jako kontingenční úhel.

Velikost úhlu binormál $\mathbf{b}_0$ a $\mathbf{b}(s)$ , kde $s > 0$ , přičemž binormály jsou v bodech $P (0)$ a $Q (s)$ křivky $\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)$ , označme $ψ(s)$ . Pak platí

$\lim_{s\to 0}\frac{\psi}{s} = {\left(\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}s}\right)}_0 = \left|{(k_2)}_0\right|$

Je-li $Δ s$ oblouk křivky mezi dvěma blízkými body a $Δψ$ je velikost úhlu mezi směry binormál v těchto bodech, pak $\frac{\Delta\psi}{\Delta s}$ se označuje jako průměrná druhá křivost křivky na daném oblouku $s$ křivky.

[editovat] Přirozené rovnice křivky

Oblouk křivky $s$ a první a druhou křivost $k 1$ , $k 2$ se nazývají přirozenými souřadnicemi křivky. Přirozenými rovnicemi křivky pak nazýváme vztahy

k 1 = k 1 (s)

k 2 = k 2 (s)

Přirozené rovnice vyjadřují danou křivku nezávisle na volbě soustavy souřadnic. Jsou tedy vhodné k vyšetřování těch vlastností křivek, které nezávisí na souřadnicích.