Tok v síti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Toky v sítích jsou v rámci teorie grafů předmětem studia teorie sítí.

Obsah

1 Motivace
2 Definice
3 Úlohy a jejich řešení
4 Aplikace
5 Podívejte se také na

[editovat] Motivace

Problémy řešené v rámci zkoumání toků v sítích jsou motivovány praktickými úlohami o propustnosti - typickým příkladem je propustnost železniční, silniční nebo vodovodní sítě. Tomu odpovídá i používaná terminologie.

Síť obsahuje hrany - úseky potrubí, úseky silnice mezi dvěma křižovatkami, které mají danou svou maximální propustnost - kapacitu.

Síť obsahuje vrcholy - místa, kde se setkává více úseků potrubí, případně silniční křižovatky nebo železniční uzly. Z pohledu řešení jednotlivých úloh obvykle pracujeme v uzavřeném konečném systému toků, kde tedy existují zdroje - vrcholy, kde tok vzniká a tzv. stoky - vrcholy, kde tok zaniká. Ostatní vrcholy, označované jako vnitřní, jsou místa, kudy tok probíhá a kde musí přitékat přesně tolik, kolik odtéká.

[editovat] Definice

Síť definujeme jako ohodnocený orientovaný graf $G = (V(G), E(G)) \,\!$ s hodnotící funkcí $c\colon E(G) \to R_0^+$ , která udává tzv. kapacitu každé hrany.
Na tomto grafu je množina vrcholů rozdělena na tři disjunktní množiny: zdroje, stoky a vnitřní vrcholy $V(G) = V^+(G) \cup V^-(G) \cup V^0(G) \,\!$ .

Na každé hraně grafu můžeme pak definovat tzv. tok, kladnou veličinu určenou funkcí $t\colon E(G) \to [0,\infty)$ . Aby mohla být výše uvedená funkce nazvána tokem, musí splňovat následující podmínky:

tok je omezený kapacitou hrany: $\forall e \in E(G): t(e) \le c(e)$
ve vnitřních vrcholech se musí vstupní a výstupní tok (nebo také přítok a odtok) rovnat: $\forall v \in V^0(G) : \sum_{e \in \to v} t(e) = \sum_{e \in v \to} t(e)$
ve zdrojích nesmí být přítok větší než odtok: $\forall v \in V^+(G) : \sum_{e \in \to v} t(e) \leq \sum_{e \in v \to} t(e)$
ve stocích nesmí být odtok větší než přítok: $\forall v \in V^-(G) : \sum_{e \in v \to} t(e) \leq \sum_{e \in \to v} t(e)$

[editovat] Úlohy a jejich řešení

Základní úlohou je najít maximální tok v grafu. Maximalitou se v tomto kontextu myslí „co nejvíc využít propustnosti“, tj. navrhnout funkci toku $t \,\!$ tak, aby odtok ze zdrojů $\sum_{v \in V^+(G)} (\sum_{e \in v \to} t(e) - \sum_{e \in \to v} t(e))$ byl maximální možný.

Tato úloha může být různým způsobem modifikována - mohu mít například navíc určenou i vrcholovou kapacitu $c_2\colon V(G) \to [0,\infty)$ , kterou nesmí překročit odtok ani přítok na jednotlivých vrcholech, tj. $\forall v \in V(G) : \sum_{e \in \to v} t(e) \leq c_2(v) \,\!$ a obdobně i pro odtok.

Zajímavá a jednoduchá myšlenka převádí úlohu s mnoha zdroji a mnoha stoky na úlohu s jedním zdrojem a jedním stokem:

Zaveďme si do grafu dva nové vrcholy z a s, které označíme za virtuální zdroj a virtuální stok. Vrchol z spojme hranou se všemi zdroji původního grafu a těmto hranám přiřadím nekonečnou kapacitu, všechny stoky původního grafu spojme s vrcholem s a i těm přiřaďme nekonečnou kapacitu. Nakonec ještě všechny původní zdroje a stoky označím za vnitřní vrcholy nově vzniklého grafu, takže tento nový graf bude mít $V^+ = \{z \} \,\!$ a $V^- = \{s \} \,\!$ . Dá se poměrně snadno nahlédnout, že maximální tok v tomto grafu zúžený na hrany původního grafu je maximálním tokem v původním grafu.

Ford-Fulkersonova věta uvádí do vztahu maximální tok a minimální řez oddělující zdroj od stoku. Vychází z ní i myšlenka základního způsobu hledání maximálního toku - Ford-Fulkersonova algoritmu. Jeho optimálnější variantou je Edmons-Karpův algoritmus, dalšími možnými přístupy k řešení jsou Dinitzův algoritmus a Goldbergův algoritmus.

[editovat] Aplikace

Toky v sítích mají široké spektrum aplikací. Nejčastěji se používají pro modelování skutečných sítí (vodovodních, dopravních, elektrických, počítačových a jiných) a zkoumání jejich vlastností (zejména maximální kapacity jejich segmentů).