Zlatý úhel

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Zlatý úhel

Zlatý úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kruh na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celému kruhu:

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{360^{\circ}}$

$\alpha + \beta = 360^\circ$

Menší úhel α se označuje řeckým písmenem ψ a rovná se přibližně 137,51° (≈ 2,40 radiánu).

[editovat] Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (φ ≈ 1,618), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

$\beta = \varphi\alpha$ respektive $\beta = \varphi\psi$

$360^{\circ} = \varphi\beta$

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

$360^{\circ} = \varphi^2\alpha$ respektive $360^{\circ} = \varphi^2\psi$

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého úhlu ψ:

$\psi = \frac{360^{\circ}}{\varphi^2} \approx 137,51^\circ$

[editovat] Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého úhlu ψ jinak. V následujícím postupu, který je velmi podobný výpočtu hodnoty zlatého řezu, jsou použity radiány místo stupňů (2π rad = 360°) a je počítána velikost úhlu α, který vlastně představuje hledaný zlatý úhel.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{2\pi}$