Rhesymeg osodiadol

Oddi wrth Wicipedia, y gwyddoniadur rhydd.

Mewn rhesymeg a mathemateg, mae rhesymeg osodiadol (neu galcwlws gosodiadol) yn system ffurfiol lle gellir ffurfio fformwlâu sy'n cynrychioli gosodiadau trwy gyfuno gosodiadau atomaidd gan ddefnyddio cysylltion rhesymegol, a system o reolau prawf ffurfiol sy'n galluogi dangos fod fformwlâu neilltuol yn "theoremau" o fewn y system.

Mae'r isod yn amlinellu rhesymeg osodiadol safonol. Gellir ffurfio systemau sydd mwy neu lai'n gywerth, ond sy'n amrywio o ran (1) eu hiaith, hynny yw, eu casgliad o symbolau atomaidd a symbolau gweithredyddion, (2) eu set o wirebau, a (3) y set o reolau didwytho.

[golygu] Disgrifiad cyffredinol o resymeg osodiadol

System ffurfiol, $\mathcal{L} = \mathcal{L}\ (\Alpha,\ \Omega,\ \Zeta,\ \Iota)$ , yw rhesymeg osodiadol, gyda'i fformwlâu wedi eu llunio fel a ganlyn:

Mae'r set alffa, $\Alpha\!$ , yn set feidraidd o elfennau a gelwir yn neu'n newidynnau gosodiadol. O safbwynt cystrawennol, rhain yw elfennau mwyaf sylfaenol yr iaith ffurfiol $\mathcal{L}$ , ac fe'u celwir yn fformwlâu atomig yn rhinwedd hynny. Yn yr enghreifftiau a ganlyn, y llythrennau p, q, r ac yn y blaen yw elfennau $\Alpha\!$ .

Set feidraidd o elfennau a gelwir yn symbolau gweithredyddion yw'r set omega, $\Omega\!$ . Dosrennir $\Omega\!$ yn is-setiau cyd-anghynwysol fel a ganlyn:

$\Omega = \Omega_0 \cup \Omega_1 \cup \ldots \cup \Omega_j \cup \ldots \cup \Omega_m \,.$

Yn y dosranniad hwn, $\Omega_j\!$ yw'r set o symbolau gweithredyddion gydag ol-der $j\!$ .

Mewn rhai rhesymegau gosodiadol cyffredin, dosrennir $\Omega\!$ fel a ganlyn:

$\Omega_1 = \{ \lnot \} \,,$

$\Omega_2 \subseteq \{ \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow \} \,.$

Yn aml, caiff gwerth rhesymegol ei drin fel gweithredydd ag ol-der sero, felly:

$\Omega_0 = \{0,\ 1 \} \,.$

Defnyddia rai awduron (~) yn lle (¬), a defnyddia rai (&) yn lle ( $\land$ ). Amrywia nodiant yn fwy fyth o ran y set o werthoedd rhesymegol, gyda symbolau megis {gwir, an-wir}, {F, T}, {0, 1}, ac { $\bot$ , $\top$ } i'w gweld mewn sawl cyd-destyn.

Gan ddibynnu ar y cystrawen a defnyddir, gall fod symbolau ychwanegol, cystrawennol, megis "(", a ")", yn angenrheidiol i gwblhau fformwlâu.

Diffinir yr iaith (ffurfiol) $\mathcal{L}$ (a gelwir hefyd yn set o fformwlâu, neu'n fformwlwâu-iawn-ffurfedig), yn anwythol neu'n iterus gan y rheolau canlynol:

Sylfaen. Mae unrhyw elfen o'r set $\Alpha\!$ yn frawddeg o $\mathcal{L}$ .
Cam (i). Os y mae p yn frawddeg, yna mae ¬p yn frawddeg.
Cam (ii). Os y mae p a q yn frawddegau, yna mae (p $\land$ q), (p ∨ q), (p → q), a (p ↔ q) yn frawddegau.
Cau. Does dim byd arall yn frawddeg.

Mae'r set zeta, $\Zeta\!$ , yn set feidraidd o reolau trawsffurfio a gelwir yn rheolau didwythiad pan mae cymhwysiad rhesymegol iddynt.

Mae'r set iota, $\Iota\!$ , yn set feidraidd o bwyntiau cychwynol a gelwir yn wirebau pan mae cymhwysiad rhesymegol iddynt.

[golygu] Enghraifft allweddol. System gyda gwirebau syml

Gadewch i $\mathcal{L}_1 = \mathcal{L}\ (\Alpha,\ \Omega,\ \Zeta,\ \Iota)$ , lle diffinir $\Alpha,\ \Omega,\ \Zeta,\ \Iota$ fel a ganlyn:

Mae'r set $\Alpha \!$ digon fawr i fodloni anghenion y drafodaeth:

$\Alpha = \{p, q, r, s, t, u \} \,.$

er enghraifft. O'r tri cysylltydd ar gyfer "ac," "neu," ac "ymhlyga," (∧, ∨, a →), gellir cymryd un fel symbol cyntefig, a diffinio'r lleill gan ei ddefnyddio ynghyd â "nacáu" (¬). (Yn wir, gellir diffinio'r cysylltyddion i gyd yn nhermau un gweithredydd. Wrth gwrs, gellir diffinio "yn unfath â" (↔) yn nhermau'r symbolau eraill, gyda a ↔ b wedi'i diffinio'n (a → b) ∧ (b → a).

Mae fabwysiadu (¬) a (→) fel dau weithredydd cyntefig y resymeg osodiadol dan sylw, yn cyfateb i gael y dosranniad canlynol o $\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2$ :

$\Omega_1 = \{ \lnot \} \,.$

$\Omega_2 = \{ \rightarrow \} \,.$

Darganfu Jan Łukasiewicz system o wirebau sy'n deillio rhesymeg osodiadol. Y gwirebau yw'r fformwlâu canlynol, gydag unrhyw fformwla dilys wedi mewnosod yn lle'r newidynnau:

$p \to (q \to p)$

$(p \to (q \to r)) \to ((p \to q) \to (p \to r))$

$(\neg p \to \neg q) \to (q \to p)$

Modus ponens yw'r rheol didwytho, hynny yw, o p a (p → q), didwyther q. Yna, diffinir a ∨ b yn ¬a → b, ac a ∧ b yn ¬(a → ¬b).

Mae'r erthygl hon yn cynnwys term neu dermau a ellir bod wedi eu cyfieithu at ddiben Wicipedia yn unig: ol-der, fformwla-iawn-ffurfedig o'r Saesneg "arity, well-formed-formula". Gallwch helpu trwy safoni'r termau.

Wedi dod o "http://cy.wikipedia.org../../../r/h/e/Rhesymeg_osodiadol.html"

Categorïau tudalen: Erthyglau sy'n cynnwys termau wedi eu bathu | Rhesymeg | Sylfeini mathemateg