Tangens

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Du har nye beskeder (forskel fra næstsidste redigering).

Tangens er en trigonometrisk funktion inden for matematikken. Tangens til en vinkel er lig sinus til den pågældende vinkel divideret med cosinus til samme vinkel. Funktionen indførtes af den danske matematiker Thomas Fincke i hans Geometria rotundi (1583).

$\tan x = \frac{ \sin x}{\cos x} \quad , \quad \cos x \ne 0$

[redigér] Afledet funktion

Lidt specielt for tangensfunktionen findes der på grund af dens definition faktisk flere forskellige beskrivelser af den afledede funktion. Nedenfor ses de tre forskellige måder man kan beskrive den på. Såfremt man bruger den trigonometriske identitet kan man frembringe en løsning hvor cosinus i anden potens indgår. Denne løsning er desuden en variant af definitionen på en anden trigonometrisk funktion kaldet sekantfunktionen, sec, nemlig kvadratet til den. Man kan også vælge at udføre divisionen hvorved man får en funktion hvorved tangens selv indgår.

$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \tan x = \frac{ \sin^2 x + \cos^2 x }{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x = \tan^2 x +1$

[redigér] Stamfunktion

Det ubestemte integral for tangensfunktionen kan også vises at være følgende:

$\int \tan x \; \textrm{d} x = -\ln( \cos x ) + c$

Det indses formodentlig lettest ved at differentiere den definerede stamfunktion. Det gøres her nedenfor, ved hjælp af regnereglen for differentiation af sammensatte funktioner:

$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} ( - \ln ( \cos x ) + c ) = \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} ( - \ln ( \cos x )) = (\sin x) \cdot \left( \frac{1}{\cos x} \right) = \tan x$

[redigér] Rækkerepræsentation

Følgende er Taylorrækken for tangensfunktionen, for udviklingspunkt i 0. B'et der indgår er de såkaldte Bernoullital. $\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\; = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots \mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$