Algebraische Varietät

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In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine algebraische Varietät ein geometrisches Objekt, das durch Polynomgleichungen beschrieben werden kann.

Es sei $k$ ein fester, algebraisch abgeschlossener Körper.

Eine affine algebraische Menge ist eine Teilmenge eines affinen Raums $k n$ , die die Form

$\{x\in k^n\mid f_1(x)=\ldots=f_k(x)=0\}$

für eine (endliche) Menge $\{f_1,\ldots,f_k\}$ von Polynomen in $k[X_1,\ldots,X_n]$ hat. (Hilberts Basissatz sagt aus, dass man jedes unendliche System von Polynomgleichungen durch ein dazu äquivalentes mit endlich vielen Gleichungen ersetzen kann.)

Die affinen algebraischen Mengen können als abgeschlossene Mengen einer Topologie aufgefasst werden, der Zariski-Topologie.

Eine affine algebraische Varietät ist eine irreduzible algebraische Menge, d.h. eine algebraische Menge, die nicht als nichttriviale Vereinigung zweier algebraischer Mengen geschrieben werden kann. Formal ist damit gemeint, dass $Z$ irreduzibel heißt, wenn in jeder Zerlegung $Z=Y_1\cup Y_2$ als Vereinigung zweier algebraischer Mengen $Y 1, Y 2$ stets $Y_1\subseteq Y_2$ oder $Y_2\subseteq Y_1$ gilt.

Affine algebraische Mengen stehen in enger Beziehung zur Idealtheorie im Polynomring $k[X_1,\ldots,X_n]$ :

Einer algebraischen Menge $Z\subseteq k^n$ wird das Ideal

$I(Z):=\{f\in k[X_1,\ldots,X_n]\mid f(x)=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ x\in Z\}$

zugeordnet.

Einem Ideal $I\subseteq k[X_1,\ldots,X_n]$ wird die algebraische Menge

$V(I):=\{x\in k^n\mid f(x)=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ f\in I\}$

zugeordnet.

Hilberts Nullstellensatz sagt nun aus, dass diese beiden Abbildungen "beinahe" eine Bijektion bilden.

Dabei entsprechen sich die folgenden Begriffe und Konstruktionen:

Algebraische Mengen	Radikalideale
Vereinigung	Schnitt
Schnitt	Summe
irreduzibel	Primideal
Punkt	Maximalideal
$k n$	$(0)$
$\varnothing$	$(1)$

Diese enge Beziehung zur kommutativen Algebra erlaubt es auch, anschauliche Begriffe durch präzise algebraische Definitionen zu fassen, beispielsweise die Dimension einer algebraischen Varietät als Höhe des entsprechenden Primideals.

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Kategorie: Algebraische Geometrie

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