Bandstruktur

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Die Bandstruktur beschreibt die Zustände von Elektronen und Löchern eines kristallinen Festkörpers im Impulsraum und damit die Beschaffenheit dessen elektronischer Struktur. Sie ist die Dispersionsrelation von Elektronen unter dem Einfluss des Festkörper-Gitterpotentials. Das Energiebändermodell eines Festkörpers ist im Wesentlichen die im Impulsraum dargestellte Bandstruktur.

[Bearbeiten] Bedeutung

Die Bandstruktur zählt zu den zentralen Konzepten der Festkörperphysik. Viele grundlegende Eigenschaften eines Festkörpers können mit Hilfe der Bandstruktur verstanden werden, wie beispielsweise:

elektrische Leitfähigkeit
thermische Eigenschaften (Wärmekapazität und -leitfähigkeit)
optische Eigenschaften
Ableiten von Größen wie effektive Masse oder Zustandsdichte

[Bearbeiten] Allgemeines

Bandstruktur eines Halbleiters. Valenz- und Leitungsband sind durch die Bandlücke getrennt.

Unterschied zwischen direkten und indirekten Übergängen

Freie Elektronen der Masse $m$ , ("frei" bedeutet, dass die Elektronen nicht mit anderen Elektronen wechselwirken und sich in keinem Potential befinden [diese Situation wird also durch folgenden Hamiltonian beschrieben: $H = \vec p ^2 / (2m)$ ]), besitzen eine parabolische Dispersionsrelation, d. h. der Zusammenhang zwischen Wellenvektor $\vec k$ und Energie $E$ ist gegeben durch $E(\vec k) = ( \hbar \vec k)^2 / (2m)$ .

Bedingt durch den Einfluss des periodischen Gitterpotentials können Elektronen in einem Festkörper nicht mehr als freie Teilchen angesehen werden. Im einfachsten Fall wird das durch die abweichende effektive Masse m^* berücksichtigt, was zu Parabelkurven verschiedener Steilheit führt. Die vollständige Dispersionsrelation der Kristallelektronen wird durch die Bandstruktur beschrieben: Diese stellt die Energie über dem Wellenvektor $\vec k$ (graphisch) dar. In der direkten Umgebung der Hochsymmetriepunkte wie dem Punkt Γ in der Abbildung unten ist die Parabelform der Kurven noch zu erkennen.

Ein Energieband, wie beispielsweise das Leitungs- oder Valenzband, ergibt sich durch den Energiebereich, welche die zugehörige $E(\vec k)$ -Kurve überdeckt (vgl. Abbildung): Für diese Energien gibt es erlaubte Zustände im Impulsraum. Der Bereich der Bandlücke ist jedoch frei von Elektronen, da es dort keine erlaubten elektronischen Zustände gibt. Deshalb wird dieser Bereich auch oft als „Energielücke“ oder auch „verbotene Zone“ bezeichnet.

[Bearbeiten] Direkte und indirekte Übergänge

Bei Übergängen, die ohne Änderung des Impulsvektors k erfolgen, also im Diagramm senkrecht, spricht man von direkten Übergängen. Ansonsten handelt es sich um indirekte Übergänge. Bei Halbleitern spricht man je nach dieser Natur ihrer Fundamentalabsorption von direkten oder indirekten Halbleitern.

[Bearbeiten] Darstellungsarten

Trägt man die Wellenfunktion der Elektronen in einem Energie-Wellenzahl-Diagramm auf, so erhält man in Richtung des Impulsraums abwechselnd erlaubte Energiebereiche (Energiebänder) und verbotene Energiebereiche (Energielücken). Ebenso können Überlappungen von Energiebändern auftreten (z. B. bei mehrwertigen Metallen).

Es gibt drei Varianten von Bandstrukturdiagrammen (auch als Zonenschemen oder Energie-Wellenzahl-Diagramme bezeichnet):

Erweitertes Zonenschema: Darstellung der verschiedenen Bänder in verschiedenen Zonen
Reduziertes Zonenschema: Darstellung aller Bänder in der 1. Brillouin-Zone
Periodisches Zonenschema: Darstellung aller Bänder in jeder Zone

[Bearbeiten] Bandstrukturen realer Festkörper

Reduziertes Zonenschema von GaAs bei 300 K

Bandstrukturen realer Kristalle können sehr komplex sein (Beispiel: GaAs und AlAs [1]). Üblicherweise stellt man die Dispersionsrelation in einem eindimensionalen Schema dar, wobei die Verbindungslinien zwischen verschiedenen charakteristischen Punkten der Brillouin-Zone einfach aneinandergehängt werden.

In jedem realen Kristall gibt es im Energiebereich der Bandlücke zusätzliche lokalisierte Zustände, die von Verunreinigungen, Gitterfehlern oder Oberflächeneffekten herrühren. Diese Zustände können systematisch erzeugt und für Anwendungen genutzt werden, z. B. beim Dotieren von Halbleitern oder in Farbzentren.