Cauchyscher Grenzwertsatz
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Der cauchysche Grenzwertsatz wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy formuliert.
Er lautet: Konvergiert eine Folge 
gegen 
, so konvergiert auch die Folge der arithmetischen Mittel 
gegen .
[Bearbeiten] Beweis
Der cauchysche Grenzwertsatz ist ein Spezialfall des Satzes von Césaro–Stolz.
Aufgrund der speziellen Struktur dieses Grenzwertsatzes ergeben sich jedoch strukturelle Vereinfachungen in den Beweisschritten,
so dass es lohnt, diesen Beweis extra aufzuführen.
Zu jedem 
gibt es für die Indizes 
eine Schranke 
überhalb der 
ist.
Sei mit 
die Differenz des -ten Folgeglieds vom Grenzwert bezeichnet.
Das Durchsummieren der Gleichung von 
bis zu einem variablen 
liefert die Gleichung
und das durchdividieren mit 
die Gleichung
Letzter Ausdruck lässt sich aufspalten in 
.
Hier ist der erste Summand eine Nullfolge somit betragsmäßig 
für hinreichend großes .
Und der zweite Summand ist betragsmäßig kleinergleich 
.
Also 
für alle genügend große .
