Couette-Strömung

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Couette-Strömung oder Taylor-Couette-Strömung bezeichnet die laminare Strömung einer inkompressiblen viskosen Flüssigkeit, die sich im Zwischenraum zwischen zwei koaxialen, relativ zueinander rotierenden Zylindern, bzw. zwischen zwei relativ zueinander bewegten, unendlich langen und breiten Platten (ebene Couette-Strömung), befindet. Die entstehende Strömung zwischen den Zylindern ist dabei nicht nur von der Rotationsgeschwindigkeit abhängig, sondern auch davon, ob der innere oder der äußere Zylinder rotiert. Ist die Relativgeschwindigkeit der Zylinder gering (s.u.) und der Spalt zwischen den beiden Zylinder klein gegenüber dem Durchmesser der Zylinder kann die Strömung als ebene Couette-Strömung behandelt werden. Dabei kann die eine Platte eine als feststehend und die andere als bewegt betrachtet werden. Die Strömung wurde nach Maurice Frédéric Alfred Couette benannt, der Ende des 19. Jahrhunderts das erste funktionierende Rotationsviskosimeter konstruiert hat.

Inhaltsverzeichnis

1 Entstehung der Strömung und Wirbelbildung
2 Mathematische Formulierung
- 2.1 Rotierende Zylinder
- 2.2 Ebene Cuette-Strömung
  - 2.2.1 Geschwindigkeit
  - 2.2.2 Temperatur
3 Interessante Links
4 Literatur

[Bearbeiten] Entstehung der Strömung und Wirbelbildung

Rotiert ausschließlich der äußere Zylinder, verhält sich die Strömung entsprechend der naiven Erwartung. Es bildet sich eine gleichmäßige laminare Strömung zwischen den beiden Zylindern. Auch wenn sich der innere Zylinder langsam dreht, bleibt das intuitiv zugängliche Bild erhalten. Bei höheren Geschwindigkeiten des inneren Zylinders zerfällt jedoch die Strömung in Streifen, da die durch die Zentrifugalkraft beschleunigte Flüssigkeit am inneren Zylinder nach außen drängt; hierdurch entstehen Wirbel, die senkrecht zur Rotationsachse stehen (Taylor-Wirbel). Genau genommen werden diese Wirbel im endlichen System von den oberen und unteren Deckelplatten durch sogenannte Ekman-Wirbel induziert und gehen kontinuierlich aus der laminaren Strömung hervor. Bei einer weiteren Erhöhung der Rotationsgeschwindigkeit des inneren Zylinders ordnen sich die Linien in einer Wellenform an, die ebenfalls um den Zylinder zu rotieren beginnt.

[Bearbeiten] Mathematische Formulierung

[Bearbeiten] Rotierende Zylinder

Die Instabilität tritt auf, wenn die Widerstandskraft die Fliehkraft nicht mehr ausgleichen kann:

$F \ge W_r \Leftrightarrow \rho \cdot \Omega^2 \cdot l^4 \ge \mu \cdot \nu \cdot \frac{l}{R} \cdot C$

$F \dots$	Fliehkraft, SI-Einheit: [ N ]
$W_r \dots$	Viskose radiale Widerstandskraft, SI-Einheit: [ N ]
$\rho \dots$	Dichte, SI-Einheit: [ kg / m³ ]
$\Omega\dots$	Winkelgeschwindigkeit, SI-Einheit: [ rad ]
$l\dots$	Schichtdicke, SI-Einheit: [ m ]
$\mu\dots$	dynamische Viskosität, SI-Einheit: [ kg / ( m s ) ]
$\nu\dots$	kinematische Viskosität, SI-Einheit: [ m² / s ]
$R\dots$	Radius des inneren Zylinders], SI-Einheit: [ m ]
$C\dots$	Potentialwirbel, SI-Einheit: [ 1 / s ]

[Bearbeiten] Ebene Cuette-Strömung

[Bearbeiten] Geschwindigkeit

$v(y) = \frac{v_1}{b} \cdot y$

$v_1 \dots$	Geschwindigkeit der bewegten Platte, SI-Einheit: [ m/s ]
$b \dots$	Breite des Spaltes, SI-Einheit: [ m ]

[Bearbeiten] Temperatur

$\frac{T(y) - T_1}{T_2 - T_1} = \frac yb\cdot\left[1 + \frac 12\cdot \mathrm{Br}\cdot\left(1 - \frac yb\right)\right]$

$T_{1,2} \dots$	oberen Platte, SI-Einheit: [ K ]
$b \dots$	Breite des Spaltes, SI-Einheit: [ m ]
$\mathrm{Br} \dots$	Brinkmann-Zahl

Anmerkung: Ist eine Wand adiabat ist

Br

= 2

[Bearbeiten] Interessante Links

Hydrodynamische Instabilitäten in der Taylor-Couette Strömung

Nichtlineare Dynamik und Strukturbildung in kontinuierlichen Systemen

[Bearbeiten] Literatur

Herbert Oertl (jr) (Hrsg.): Prandtl Führer durch die Strömungslehre 10., vollständig bearbeitete Auflage, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-38209-0

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Kategorie: Strömungslehre