Dekonvolution

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Dekonvolution (engl. Ent-Faltung) ist eine Signalverarbeitung mit Hilfe verschiedener mathematischer Verfahren.

[Bearbeiten] Mathematik

In der Mathematik bezeichnet Dekonvolution oder Entfaltung die Umkehrung einer Faltung (symbolisch: "*", um eine Verwechslung mit der punktweisen Multiplikation zu vermeiden, s. u.) zweier Funktionen. Allgemein dargestellt entspricht dies dem Versuch, aus dem Ergebnis f der Faltung zweier Funktionen g und h

$f = g * h\,$

die unbekannte Funktion g bei bekanntem h und f zu bestimmen; dieses Problem wird auch als inverses Faltungsproblem bezeichnet. Ein allgemeiner Lösungsansatz ergibt sich aus dem Faltungssatz, welcher besagt, dass die Fourier-Transformierte einer Faltung zweier Funktionen gleich dem Produkt der Fourier-Transformierten der beiden Funktionen ist. Dementsprechend lässt sich obige Gleichung auch schreiben als

$\hat f=\hat g \cdot \hat h$

wobei $\hat f$ , $\hat g$ und $\hat h$ die Fourier-Transformierten von f, g und h bezeichnen. Somit ließe sich $\hat g$ prinzipiell bestimmen als

$\hat g=\frac{\hat f}{\hat h}$

und hieraus durch Fourier-Transformation g. Allerdings ist dieser allgemeine Ansatz in der Regel nicht anwendbar, da 1. die Funktion g nicht eindeutig sein muss, 2. die Funktion $\hat h$ Nullstellen enthalten kann und 3. reale Daten im Allgemeinen mit einem additiven Rauschen, entsprechend einem Zusatzterm n, behaftet sind, so dass in solchen Fällen sich das ursprüngliche Problem zu

$f=g * h + n\,$

verkompliziert. Aus diesem Grund werden diverse Verfahren verwendet, die aus h und f das wahrscheinlichste Ergebnis für g zu ermitteln versuchen, da eine eindeutige analytische Lösung nicht existiert. Es zeigt sich, dass das Rauschen n bei einer naiven Rückfaltung mit obiger Divisions-Methode überproportional verstärkt wird:

$\hat g=\frac{\hat f}{\hat h}-\frac{\hat n}{\hat h}$

Die Verstärkung rührt daher, dass $\hat h$ üblicherweise zu hohen Frequenzen hin gegen 0 abfällt (z. B. Glättungsfilter = Tiefpassfilter), während das Rauschen gerade auch dort Frequenzanteile enthält, die dann durch $1/\hat h$ verstärkt werden.

[Bearbeiten] Bildbearbeitung

Dekonvolution wird zum Beispiel zum Schärfen von Bildern in der Astrofotografie verwendet. Die Dekonvolutions-Filter versuchen die Unschärfe mathematisch zu erfassen und rückgängig zu machen. Einige Verfahren:

Van Cittert deconvolution
Richardson Lucy deconvolution
blind deconvolution
Meinel
ZNova Algorithmus
Agard & Sedat

Die Schärfung erfolgt über die s.g. PSF (engl: Point Spread Function) Matrix. Diese sagt, wie das Bild geschärft werden soll und ist die Grundlage dieses Verfahrens. Wird ein Bild digital unscharf gemacht, so kann man mit Hilfe von Dekonvolution und der genauen Kenntnis dieses Filters das Bild vollständig wiederherstellen. Blind deconvolution versucht die optimale PSF Matrix zu erraten, da man hier davon ausgeht, dass die Matrix unbekannt ist. Die häufigsten PSF's ist die Kreis- und Gaußmatrix.

Dekonvolution findet in verschiedenen Bildverarbeitungsprogrammen eine Anwendung.