Dichtefunktionaltheorie (Statistische Physik)

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Die Dichtefunktionaltheorie ist in der statistischen Physik eine Methode, das Verhalten eines Vielteilchensystems (etwa eines Gases in einem Behälter) zu beschreiben. Dazu liefert sie für gegebene Parameter (u.a. Temperatur und Wechselwirkung) die ortsabhängige Dichte dieses Systems. So lässt sich z.B. für ein ideales Gas im Gravitationsfeld die barometrische Höhenformel herleiten.

[Bearbeiten] Prinzip

Das Prinzip der Dichtefunktionaltheorie beruht darauf, dass das thermodynamische Potenzial (z.B. die freie Energie oder das großkanonische Potenzial) eines Ensembles sich als Funktional der mikroskopischen Dichte schreiben lässt. Dieses Funktional wird minimal bei der physikalisch realisierten Dichte.

Ist das Dichtefunktional für ein gegebenes System bekannt, kann die Gleichgewichtsdichte also durch Minimieren des Funktionals gefunden werden.

In der Regel definiert man im Sinne einer übersichtlicheren Schreibweise das Exzess-Funktional $F exc [ρ] = F [ρ] - F id [ρ]$ , wobei $F id [ρ]$ das (exakt bekannte) Freie-Energie-Funktional für das ideale Gas ist.

Da das exakte Funktional nur für einige sehr einfache Systeme (z.B. das ideale Gas) bekannt ist, liegt das zentrale Problem der Dichtefunktionaltheorie in der Beschaffung einer geeigneten Näherung für dieses Funktional.

Häufig verwendete Näherungen sind:

Lokale Dichtenäherung (Local Density Approximation, LDA)
Molekularfeldnäherung (Mean Field Approximation, MFA)
Gewichtete Dichtenäherung (Weighted Density Approximation, WDA)
Rosenfeld-Funktionale

[Bearbeiten] Beispiel: Ideales Gas

Das Funktional für die freie Energie sei

$F(T,[\rho])=kT \int \rho(\vec r) (\ln(\Lambda^3\rho(\vec r))-1)\,d^3r$ .

Dabei sind: k die Boltzmannkonstante, T die Temperatur, $ρ$ die Dichte, $Λ$ die thermische De-Broglie-Wellenlänge und $\vec r$ ein Ortsvektor.

Die physikalisch realisierte Dichte erhält man, indem man das zugehörige großkanonische Potenzial im Raum aller Dichten minimiert. Praktisch geschieht das durch Nullsetzen der funktionalen Ableitung:

$0=\frac{\delta \Omega[\rho]}{\delta\rho}|_{\rho=\rho_0}=kT\ln(\Lambda^3\rho_0(\vec r)) +V_{\mathrm{ext}}(\vec r)-\mu$ .

Dies liefert durch Auflösen nach $ρ 0$ die verallgemeinerte barometrische Höhenformel: $\rho_0(\vec r)=\Lambda^{-3}\exp((\mu-V_{\mathrm{ext}}(\vec r))/kT)$ .