Diskussion:Elastizitätsmodul

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Die Definition des E-Modul ist nur auf isotrope Werkstoffe wie z. B.: Stahl zutreffend. Bei anisotropen Werkstoffen wie Holz oder Faserverbundwerkstoff wird als Elastizitätsmodul $E i j k l$ ein Tensor 4. Ordnung benutzt. Es handelt sich vereinfacht gesagt um eine 3x3x3x3 Matrix die von den 81 möglichen Werten aus Symetriegründen 21 Materialkenngrößen erfaßt. Damit läßt sich die Nachgiebigkeit in Abhängigkeit von der Belastungsrichtung in beliebigen linearelastischen Werkstoffen berechnen.

Der obige Schreiber spricht einen wichtigen Punkt an. Im Prinzip stimme ich ihm zu. Allerdings bezeichnet

E i j k l

nicht den Modul sondern den Elastizitätstensor. Dieser wiederum setzt sich aus den Elastizitätskonstanten (den Elastititätsmodul und Querkontraktionszahlen) zusammen. Ob man die Tensorschreibweise wählt oer nicht, hat nichts mit der Anisotropie des Werkstoffs zu tun, sondern mit der Dimensionalität des Werkstoffgesetzes, bzw. der Art der Notierung.

Ingenieure notieren die Spannungen und Dehnungen gerne als Vektoren, damit wird der Elastizitätstensor, in den Hauptachsen, zur Matrix:

$\begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \tau_{23} \\ \tau_{31} \\ \tau_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{E_1} & \frac{\nu_{12}}{E_2} & \frac{\nu_{13}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu_{21}}{E_1} & \frac{1}{E_2} & \frac{\nu_{23}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu_{31}}{E_1} & \frac{\nu_{32}}{E_2} & \frac{1}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{23}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{31}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \epsilon_{11} \\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{31} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix}$

Würde man obige Beziehung mit Tensoren schreiben, so ist an Stelle des Spannungsvektors der Spannungstensor zu setzten. Spannungstensor und Spannungsvektor sind nicht identisch. Spannungstensor:

$\sigma_{ij}= \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\ \end{bmatrix}$

Der Elastizitätstensor setzt sich aus den Elastizitätskonstanten $E i$ und $ν i j$ zusammen.
Die Definition des Elastizitätsmoduls hat nichts damit zu tun, ob eine Schiebungs-Dehnungs-Kopplung (Anisotropie) vorliegt.
Auch anisotrope Elastititätsgestze lassen sich in der Matrixform ausdrücken (siehe klassische Laminattheorie).

--NoiseD 13:57, 20. Aug 2005 (CEST)

Ok, ich war der obere Schreiberling, ist aber auch schon lange her. Im Moment bin ich etwas aus dem Thema raus.

Mit dem Elastizitätstensor stimme ich dir zu das der so heißt, bei allem anderen eher nicht.

Ich glaube in deiner großen Formel oben müssen alle Hauptsteifigkeiten E1,E2,E3 und alle Kräfte und Dehnungen senkrecht aufeinander stehen, so wie man das bei Holz annimmt, aber ist das immer der Fall? Ich meine damit den Fall das man Kunststoff mit kurzen Kohle- oder Glasfasern versieht und diese Masse dann im flüßigen Zustand in eine belibig komplexe 3D-Form spritzt. Die Fasern richten sich durch das Spritzen in einer gewissen Weise aus bleiben aber auch etwas chaotisch an geordnet. Ihre Ausrichtung ist dabei eine Funktion des jeweiligen Ortes. So, wie beschreibt man so ein Objekt für ein FEM-Modell? Ich glaube mit 3 Querdehnungszahlen und 3 E-Modulen kommt man da nicht weit. Oder anders gesagt bei einem solchen Material können Normalspannungen zu Schubverzerrungen führen.

Nagut schauen wir erstmal wie sich der Artikel verbessern läßt, eh man noch mehr Verunsicherungen rein bringt. Kolossos 20:36, 22. Aug 2005 (CEST)

Ich habe hier vielleicht eine falsche Diskussion angefacht, weil ich in dem Artikel über den Elastizitätsmodul ein Elastizitätsgesetz eingeführt habe. Sollte es noch weiteren Diskussionsbedarf geben, schlage ich vor, dies zum Elastizitätsgesetz zu verlagern.

Die Dehnungen $ε i$ stehen immer senkrecht zueinander weil Elastizitätsgesetze in Orthogonal-Systemen beschrieben w erden. $E i$ sind also keine Steifigkeiten sondern Moduln. Wie man das Elastititätsgesetz im Raum orientiert ist eine andere Frage. Obiges Elastizitätsgesetz ist orthotrop, eine spezielle Form der Anisotropie. Es besitzt daher keine Schiebungs-Dehnungs-Kopplungen. Ich hatte es lediglich zur Verdeutlichung des Unterschieds von Modul und Steifigkeitsmatrix aufgeschrieben. Aus obigen Gesetz kann man nälich leicht das isotrope Gesetz bleiten. Ich hoffe die Leser dadurch nicht zu stark zu verunsichern.

Holz: Daß die Holzfasern senkrecht auf den Holzstrahlen stehen (Orthognalsystem) schränkt obiges Gesetz nicht ein. Außerhalb des Holzstrahlen-Holzfaser-Systems ist es natürlich nicht mehr gültig. Es handelt sich ja um ein richtungsabhängiges Gesetz.
quasiiotroper faservertärkter Spritzguss: Auch hier gilt das obiges Elastizitätsgesetz. Jeden Faserschnipsel kann damit mikromechanisch beschrieben werden. Da die Fasern jedoch für gewöhnlich statistisch verteilt sind, entsteht bei der Überlagerung ein isotropes Elastizitätsgesetz. Anders kann es bei der Ausbildung von Fließlinien z.B. in Rippen aussehen. Hier bilden sich in der Regel eine Orientierung und Kopplungen aus.
FEM: Richtig, die Formulierung über die Grungelastizitätsgrößen (3mal E, 3mal $ν$ , 3mal G) berücksichtigt die Schiebungs-Dehnungs-Kopplung nicht. FEM Programme bieten jedoch oft die Möglichkeit, das Elastizitätsgesetz in Form der Steifigkeitsmatrix anzugeben. In dieser Formulierung ist die Kopplung dann enthalten.

Ob Tensor oder Matrix in oftmals

[Bearbeiten] Breitenbezogene Elastizitätsmoduln?

Ich möchte die Einführung eines breitenbezogenen Moduls bei Folien und Blechen zur Diskussion stellen.

Meiner Meinung nach ist dies kein Modul sondern eine Steifigkeitsgröße, da der Modul mit einer Länge bzw. Breite multipliziert wurde. Der Modul ist für ein infitesimal kleines Element $dxdydz$ definiert. Alles andere sind Steifigkeiten, weil sie von der Form, der Dehnungsbehinderung usw. des konkreten Bauteils abhängen. Der Modul ist aber unabhängig von der Form des Bauteils.

Ich glaube mit Dehnungsbehinderungen und "fiesen Infitesimalitäten" hat der Absatz nichts zu tuen.:-) Das Bestimmungsverfahren ist genauso wie bei dem obigen E-Modul ein Zugversuch nur statt Kraft durch Fläche, benutzt man Kraft durch Breite bei einer theoretischen Dehnung =1. Ich würde so ein Verfahren allerdings nur dort einsetzen wo ich die Dicke nicht richtig bestimmen kann (z.B. bei Stoffen) oder wo sie mir egal ist (z.B. wenn ich eine Folie mit einer bestimmten Festigkeit einkaufe, egal wie dick sie ausfällt.)

Von Steifigkeit würde ich erst sprechen wenn ich ein komplexes Bauteil verforme und dabei messe wieviel Kraft ich pro Verformungsweg benötige.(N/mm)

Kolossos 20:36, 22. Aug 2005 (CEST)

Würde man in der Schreibweise des Artikel verbleiben, müsste man den Modul eines Stabes mit $E \cdot \rm{Querschnittsflaeche}$ bezeichnen. --NoiseD 14:08, 20. Aug 2005 (CEST)

Der Modul kann nur deshalb im einaxialen Zugversuch ermittelt werden, weil sich die Dehnungen frei einstellen können. Der 1-axiale Spannungszustand ist ja ein 3-axialer Dehnungszustand. Bei einer Scheibe kann das anders aussehen. Ziehe ich an einer Scheibe so ist, aufgrund ihrer Breite, die Querkontraktion behindert. Es entsteht daher ein mehraxialer Spannungs- und Dehnungszustand. Man misst also nicht mehr genau den Elastizitätsmodul sondern den querkontraktionsbehinderten Zugmodul. Man kann das sehen, wenn man z.B. das iotrope Elastizitätsgesetz aufstellt und die Dehnungen $ε 2,ε 3$ auf Null stetz. Löst man nach $\frac{\sigma_1}{\epsilon_1}$ auf, erhält man nicht den Elastizitätsmodul. Nun ist natürlich eine reale Scheibe nicht ideal querkontraktionsbehindert. Es wird sich daher eine Mischform einstellen.

Aus obigen Gründen misst man nur im 1-axialen Zugversuch den Elastizitätsmodul. Andere Versuche liefern Steifigkeiten. --NoiseD 18:14, 23. Aug 2005 (CEST)

Das stimmt schon was du sagst, zummindestens für den Theoretiker. Wenn ich aus einem 1mm dünnen Blech, einen 10mm und einen 20mm Streifen für den Zugversuch präpariere, so wird der 20mm Streifen mehr als doppelt so steif sein wie der 10mm Streifen. Das heißt den E-modul berechne aus dem Anstieg der (gemessener Kraft geteilt duch die Ausgangsfläche) über die Dehnung.

Dem Praktiker bleibt aber nicht anderes übrig als so zu verfahren und einen 1x20mm Streifen zu benutzen denn für einen einachsigen Zustand zu errreichen müßte er einen 1x1mm Streifen aus dem Blech schneiden was nicht geht bzw. keine ordentlichen Messwerte liefert.

Da man die Meßverfahren z.b.: bei Textiltest auf eine definierte Breite normiert bekommt man auch ordentlichen vergleichbare Ergebnisse.

Gut, eigentlich können wir den Abschnitt einfach rausnehmen ohne das dadurch aus meiner Sicht was verloren geht.

Wenn mal einen Blick auf die 400 Seiten [1] wirft, sieht man das es bei dem ganzen Themenkomplex noch viel zu tuen gibt, und man sich nicht unbedingt an Kleinigkeiten verbeißen muß.Kolossos 00:12, 24. Aug 2005 (CEST)

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Diskussion:Elastizitätsmodul

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