Fehlerfunktion

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Plot der Fehlerfunktion

Die Fehlerfunktion ist von Bedeutung für Berechnungen in der Statistik sowie für partielle Differentialgleichungen.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition und Eigenschaften
2 Verwendung
3 Verwandtschaft mit der Normalverteilung
4 Numerische Berechnung
5 Wertetabelle

[Bearbeiten] Definition und Eigenschaften

Die Fehlerfunktion erf(z) (von englisch error function) wird durch das Integral

$\mathrm{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{z}e^{-\tau^2}d\tau$

definiert.

Die komplementäre (bzw. konjugierte) Fehlerfunktion erfc(z) ist gegeben durch:

$\mathrm{erfc}(z) = 1 - \mathrm{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{z}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau$ .

Die imaginäre Fehlerfunktion erfi(z) ist gegeben durch:

erfi(z) = erf(i z) / i

Die verallgemeinerte Fehlerfunktion erf(a,b) wird durch das Integral:

$\mathrm{erf}(a,b) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{a}^{b}e^{-\tau^2}d\tau$

definiert. Es gilt $erf(a, b) = erf(b) - erf(a)$ .

[Bearbeiten] Verwendung

Wenn die Ergebnisse einer Messreihe durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung σ und Erwartungswert 0 beschrieben werden können, dann ist $\operatorname{erf}\,\left(\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}\,\right)$ die Wahrscheinlichkeit, mit der der Messfehler einer einzelnen Messung zwischen −a und +a liegt.

Die Fehlerfunktion und die komplementäre Fehlerfunktion kommen beispielsweise in Lösungen der Wärmeleitungsgleichung vor, wenn Randwertbedingungen durch die Heaviside-Funktion vorgegebenen sind.

[Bearbeiten] Verwandtschaft mit der Normalverteilung

Die Fehlerfunktion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Sie hat jedoch eine Wertemenge von $( - 1,1)$ , während eine Verteilungsfunktion zwingend Werte aus dem Bereich $[0,1]$ annehmen muss.

Es gilt

$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1+\mbox{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$ .

[Bearbeiten] Numerische Berechnung

Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss numerisch bestimmt werden.

Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der Reihenentwicklung

$\operatorname{erf}(x) = \frac 2\sqrt{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} = \frac 2\sqrt{\pi}\left( x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} - \dotsb \right)$ ,

für große reelle Werte mit der Kettenbruchentwicklung

$\operatorname{erf}(x) = 1 - \frac{e^{-x^2}}{\sqrt\pi\Bigg(x + \frac 1{2x + \frac 2{x + \frac 3{2x + \frac 4{x + \ldots}}}}\Bigg)}$ .

[Bearbeiten] Wertetabelle

x	erf(x)	erfc(x)
0.00	0.0000000	1.0000000
0.05	0.0563720	0.9436280
0.10	0.1124629	0.8875371
0.15	0.1679960	0.8320040
0.20	0.2227026	0.7772974
0.25	0.2763264	0.7236736
0.30	0.3286268	0.6713732
0.35	0.3793821	0.6206179
0.40	0.4283924	0.5716076
0.45	0.4754817	0.5245183
0.50	0.5204999	0.4795001
0.55	0.5633234	0.4366766
0.60	0.6038561	0.3961439
0.65	0.6420293	0.3579707
0.70	0.6778012	0.3221988
0.75	0.7111556	0.2888444
0.80	0.7421010	0.2578990
0.85	0.7706681	0.2293319
0.90	0.7969082	0.2030918
0.95	0.8208908	0.1791092
1.00	0.8427008	0.1572992
1.10	0.8802051	0.1197949
1.20	0.9103140	0.0896860
1.30	0.9340079	0.0659921
1.40	0.9522851	0.0477149
1.50	0.9661051	0.0338949
1.60	0.9763484	0.0236516
1.70	0.9837905	0.0162095
1.80	0.9890905	0.0109095
1.90	0.9927904	0.0072096
2.00	0.9953223	0.0046777
2.10	0.9970205	0.0029795
2.20	0.9981372	0.0018628
2.30	0.9988568	0.0011432
2.40	0.9993115	0.0006885
2.50	0.9995930	0.0004070
2.60	0.9997640	0.0002360
2.70	0.9998657	0.0001343
2.80	0.9999250	0.0000750
2.90	0.9999589	0.0000411
3.0	0.9999779	0.0000221
3.10	0.9999884	0.0000116
3.20	0.9999940	0.0000060
3.30	0.9999969	0.0000031
3.40	0.9999985	0.0000015
3.50	0.9999993	0.0000007