Floer Homologie
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Floer-Homologien (FH) bezeichnet in der Topologie und Differentialgeometrie eine Gruppe ähnlich konstruierter Homologie-Invarianten. Sie haben ihren Ursprung im Werk von Andreas Floer und sind seitdem ständig weiterentwickelt worden. Floer erweiterte die Morse Homologie (Morse-Theorie) endlich dimensionaler Mannigfaltigkeiten auf Fälle, in denen die Morse Funktion nicht mehr endliche, sondern nur noch "relativ endliche" Indices hat, insbesondere in symplektischen Mannigfaltigkeiten, wo die "Differentiale" der Homologie-Konstruktion pseudoholomorphe Kurven abzählen.
[Bearbeiten] Symplektische Floer Homologie (SFH)
In diesem Fall ist die Floer Homologie mit einer symplektischen Mannigfaltigkeit (wie die Phasenräume der klassichen Mechanik) M mit einem auf ihr operierenden nicht-entarteten Symplektomorphismus (symplektische Abbildungs oder "Fluss", er erhält das Volumen) F verbunden. Falls diese vom Hamilton-Typ ist, kann auf dem Raum der geschlossenen Wege von M (loop space) ein Wirkungsfunktional (action functional) definiert werden und die SFH ergibt sich aus dem Studium dieses Funktionals. SFH ist invariant unter einer Hamilton-Isotopie von F.
"Nicht entartet" bedeutet, dass die Eigenwerte der Ableitung dF des Flusses F an seinen Fixpunkten nicht gleich 1 sind, die Fixpunkte also isolierte Punkte sind.
Die SFH ist dann als Homologie (-Gruppe) des durch diese Fixpunkte definierten Kettenkomplexes (chain complex) definiert. Das "Differential" in diesem Kettenkomplex ("Differential" im Sinn der algebraischen Topologie, so auch in den folgenden Kapiteln) zählt dabei bestimmte pseudoholomorphe Kurven im Produkt R x T, wobei T der sogenannte Abbildungs-Torus von F ist. T ist selber eine symplektische Mannigfaltigkeit mit einer um 2 größeren Dimension als M. Für eine geeignete Wahl der pseudoholomorphen Struktur haben punktierte holomorphe Kurven in T asymptotische zylindrische Enden, die den Fixpunkten von F entsprechen. Die zentrale Idee von Floer war es, einen relativen Index zwischen Paaren von Fixpunkten zu definieren, und das "Differential" zählt die Zahl holomorpher Zylinder mit relativem Index 1.
Die SFH eines Hamiltonschen Symplektomorphismus F ist isomorph zur singuläre Homologie der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit M. Daher liefern die Summen der Betti-Zahlen von M eine untere Grenze für die Anzahl der Fixpunkte eines nicht-entarteten Symplektomorphismus F (Arnold-Vermutung). Die SFH eines Hamiltonschen F haben außerdem ein "pair of pants" Produkt, das ein deformiertes Cup-Produkt äquivalent zur Quantenkohomologie ist.
[Bearbeiten] Floer Homologie von 3-Mannigfaltigkeiten
Die verschiedenen (vermutlich äquivalenten) Floer Homologien von dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten liefern Homologiegruppen, die ein exaktes Dreieck (exact triangle) bilden. Die Heegaard-Floer-Homologie liefert außerdem Knoteninvarianten und ähnelt formal der kombinatorisch definierten Khovanov-Homologie [1].
Eine Besonderheit der FH von 3-Mannigfaltigkeiten tritt ein, falls diese Mannigfaltigkeiten Kontakt-Strukturen haben, denn dann lassen sich "Eingebettete Kontakt Homologien" definieren.
Sie sollten auch für Invarianten für 4-Mannigfaltigkeiten ergeben über die Floer-Homologien der 3-dimensionalen Ränder dieser Mannigfaltigkeiten. Damit verbunden ist der Begriff der topologischen Quantenfeldtheorie.
[Bearbeiten] Instanton Floer Homologie
Das ist eine Invariante von 3-Mannigfaltigkeiten M, die mit einer Theorie von Simon Donaldson verbunden ist. Sie ergibt sich aus der Betrachtung des Chern-Simons Funktionals auf dem Raum der Zusammenhangsformen (connections) des SU(2)-Hauptfaserbündels über M. Seine kritischen Punkte sind flache Zusammenhänge (flat connections) und seine Flusslinien sind Instantonen ("anti-self dual connections" auf R x M)
[Bearbeiten] Seiberg-Witten Floer Homologie (SWF)
Seiberg-Witten Floer Homologie, auch als Monopol-FH bekannt, ist eine Homologietheorie glatter 3-Mannigfaltigkeiten versehen mit einer spinc Struktur, die durch die Lösungen der Seiberg-Witten Gleichungen auf einer 3-Mannigfaltigkeit M gegeben ist und deren "Differential" Lösungen der Seiberg-Witten Gleichungen auf dem Produkt M x R zählt.
Die exakte Konstruktion dieser Homologie in einigen Spezialfällen und in endlich dimensionaler Näherung erfolgt in einigen Arbeiten von Ciprian Manolescu und Peter Kronheimer. Ein konventionellerer Weg wird in einem bald erscheinenden Buch von Kronheimer and Tomasz Mrowka eingeschlagen.
[Bearbeiten] Heegaard Floer Homologie
Heegaard Floer Homologie ist eine Invariante einer geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit M,versehen mit einer spinc Struktur. Sie wird mittels Heegaard Zerschneidung von M via Lagrange-Floer-Homologie erhalten. Es wird vermutet, dass sie zur Seiberg-Witten-Floer-Homologie äquivalent ist. Ein Knoten in einer 3-Mannigfaltigkeit M induziert eine Filtration der Homologiegruppen, was wiederum mächtige Knoteninvarianten liefert, die das klassische Alexanderpolynom verallgemeinern.
Die Heegaard Floer Homologie wurde in einer langen Serie von Arbeiten von Peter Ozsváth and Zoltán Szabó entwickelt, die zugehörige Knoteninvariante wurde auch unabhängig von Jacob Rasmussen entdeckt.
[Bearbeiten] Eingebettete Kontakt Homologie (embedded contact homology, ECH)
Sie wurde durch Michael Hutchings und Michael Sullivan eingeführt als Invariante von 3-Mannigfaltigkeiten mit einer zusätzlich definierten 2.Homologieklasse (analog der spin-c-Struktur bei Seiberg-Witten-FH). Es wird vermutet, dass sie äquivalent Seiberg-Witten-FH und Heegaard-FH ist. Sie kann als Erweiterung von Taubes´ Gromov-Invariante aufgefasst werden, von der bekannt ist, dass sie zur Seiberg-Witten Invariante äquivalent ist, und die eine Invariante von Abbildungen von geschlossenen symplektischen 4-Mannigfaltigkeiten zu bestimmten nicht-kompakten 4-Mannigfaltigkeiten ist.
Die Konstruktion dieser FH ist analog der symplektischen Feldtheorie, bezieht aber nur eingebettete pseudoholomorphe Kurven ein (mit ein paar technischen Zusatzbedingungen). Für Mannigfaltigkeiten mit nicht trivialen ECH gibt es eine Vermutung von Weinstein, die von Taubes mit Techniken, die eng mit ECH verwandt sind, bewiesen wurde.
[Bearbeiten] Lagrange-Schnitt-FH (Lagrangian intersection Floer homology)
Die Lagrange FH zweier Lagrangescher Untermannigfaltigkeiten einer symplektischen Mannigfaltigkeit M wird durch die Schnittpunkte der beiden Untermannigfaltigkeiten erzeugt. Ihr "Differential" zählt pseudoholomorphe Whitney-Scheiben. Sie ist mit der SFH verbunden, da der Graph eines Symplektomorphismus von M eine Lagrange-Untermannigfaltigkeit von M x M ist und seine Fixpunkte den Schnitten der Lagrangemannigfaltigkeit entsprechen. Sie hat schöne Anwendungen in der Heegaard-FH (s.u.) und in Arbeiten von Seidel-Smith und Manolescu, die Teile der kombinatorisch definierten Khovanov-Homologie als Lagrange Schnitt-FH ausdrücken.
Es seien drei Lagrange-Untermannigfaltigkeiten L0, L1 und L2 einer symplektischen Mannigfaltigkeit gegeben. Dann gibt es eine Produktstruktur auf der Lagrange-FH:
,
die durch das Zählen von holomorphen Dreiecken (d.h. holomorphe Abbildungen von Dreiecken, deren Ecken und Kanten auf die entsprechenden Schnittpunkte und Lagrange-Untermannigfaltigkeiten abgebildet werden) definiert ist.
Arbeiten hierzu sind von Fukaya, Oh, Ono, und Ohta; oder in einem anderen Zugang in den Arbeiten zur "cluster Homologie" von Lalonde und Cornea. Die FH von Paaren von Lagrange-Untermannigfaltigkeiten muss nicht immer existieren, aber wenn sie existiert, liefert sie eine Obstruktion für die "Isotopierung" der einen Untermannigfaltigkeit von der anderen mittels Hamiltonscher Isotopien.
[Bearbeiten] Die Atiyah-Floer Vermutung
Die Atiyah-Floer Vermutung verbindet die Instanton-Floer-Homologie mit der Langrange-Schnitt-Floer-Homologie: Sei M eine 3-Mannigfaltigkeit mit einer Heegaard-Zerschneidung entlang einer Fläche Σ. Dann ist der Raum der "flachen Bündel" (flat connections, d.h. verschwindende Zusammenhangsform) auf Σ modulo Eichtransformationen eine symplektische Mannigfaltigkeit der Dimension (6g - 6), wobei g das Geschlecht der Fläche Σ ist.
In der Heegard Zerschneidung berandet Σ zwei verschiedene 3-Mannigfaltigkeiten; der Raum der flachen Bündel modulo Eichtransformationen auf jeder 3-Mannigfaltigkeit mit Rand (oder äquivalent dazu, der Raum der Zusammenhangsformen auf Σ die sich auf jede der beiden 3-Mannigfaltigkeiten fortsetzen lässt) ist eine Lagrange-Untermannigfaltigkeit des Raums der Zusammenhangsformen (connections) auf Σ. Man kann also ihre Lagrange-Schnitt-Floer-Homologie betrachten oder alternativ die Instanton-Floer Homologie der 3-Mannigfaltigkeit M. Die Atiyah-Floer-Vermutung besagt die Isormophie dieser beiden Invarianten. Katrin Wehrheim und Dietmar Salamon arbeiten an einem Programm diese Vermutung zu beweisen.
[Bearbeiten] Verbindungen zur Mirror Symmetrie
Die Homologische Mirror-Symmetrie (Spiegel-Symmetrie) Vermutung von Maxim Kontsevich sagt die Äquivalenz der Lagrange-FH von Lagrange-Untermannigfaltigkeiten in Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten X und den Ext-Gruppen von kohärenten Garben auf der Mirror-Calabi-Yau Mannigfaltigkeit voraus. Interessanter als die FH- Gruppen sind hier die Floer Ketten-Gruppen (chain groups). Ähnlich dem "pair-of-pants-Produkt" kann man n-gone aus Aneinanderreihungen pseudoholomorpher Kurven bilden. Diese Gebilde erfüllen die 
-Relationen und machen so die Kategorie aller Lagrange-Untermannigfaltigkeiten (ohne Obstruktionen) in einer symplektischen Mannigfaltigkeit zu einer -Kategorie, genannt Fukaya Kategorie.
Genauer gesagt müssen zusätzliche Strukturen zu der Lagrangemannigfaltigkeit hinzugefügt werden, nämlich eine Gradierung und eine spin-Struktur (analog zur Physik "brane" genannt). Dann sagt die Vermutung, dass eine abgeleitete-Morita-Äquivalenz zwischen der Fukaya-Kategorie der Calabi-Yau Räume und der dg-Kategorie der abgeleiteten Kategorie (derived category) der kohärenten Garben auf der Spiegel-Mannigfaltigkeit besteht (und umgekehrt).
[Bearbeiten] Symplektische Feldtheorie
Dies ist eine Invariante von Kontakt-Mannigfaltigkeiten und der symplektischen Kobordismen zwischen ihnen. Sie stammt ursprünglich von Yasha Eliashberg, Alexander Givental und Helmut Hofer. Sie ist - ebenso wie ihre Unterkomplexe, die rationale symplektische Feldtheorie und die Kontakt-Homologie- als Homologie von Differential-Algebren definiert, die durch geschlossenen Bahnen von Reeb-Vektorfeldern einer Kontaktform erzeugt werden. Das "Differential" zählt hier bestimmte holomorphe Kurven im Zylinder R x M über der Kontakt-Mannigfaltigkeit M. Es gibt eine lineare Homologie-Theorie, genannt zylindrische oder linearisierte Kontakt-Homologie, deren Ketten-Gruppen die durch geschlossene Bahnen erzeugten Vektorräume sind und deren Differentiale nur holomorphe Zylinder zählen.
Aufgrund des Vorhandenseins holomorpher Scheiben ist die zylindrische Kontakt-Homologie nicht immer definiert. Falls sie definiert ist, kann sie als "Morse Homologie" des Wirkfunktionals auf dem Schleifenraum (loop space) gesehen werden, die einer Schleife (loop) das Integral einer Kontaktform über diese Schleife zuordnet. "Reeb Bahnen" sind die kritischen Punkte dieses Funktionals.
SFT assoziiert auch eine relative Invariante zu einer Legendre Untermannigfaltigkeit einer Kontakt-Mannigfaltigkeit, die "relative Kontakt-Homologie".
[Bearbeiten] Abbildungs-Toren (Mapping Tori)
In der SFT können die Kontakt-Mannigfaltigkeiten durch Abbildungs-Toren (mapping tori) der symplektischen Mannigfaltigkeiten mit Symplektomorphismen ersetzt werden. Während die zylindrische Kontakt Homologie wohldefiniert ist (und durch die SFH der Potenzen der Symplektomorphismen gegeben ist), können (rationale) symplektische Feldtheorie und Kontakt-Homologie als verallgemeinerte SFH betrachtet werden.
Ähnlich kann ein Analogon zur "eingebetteten Kontakt Homologie" (ECH) für die Abbildungs-Toren von Symplektomorphismen einer Fläche (auch mit Rand) definiert werden, die "Periodische FH", die die SFH von Flächen-Symplektomorphismen verallgemeinert. Sie ist vermutlich mit der ECH verbunden.
[Bearbeiten] Floer Homotopie
Ein möglicher Weg FH-Theorie für ein Objekt zu konstruieren wäre die Konstruktion eines zugehörigen "Spektrums", dessen gewöhnliche Homologie die gesuchte FH wäre. Andere Invarianten würden sich aus der Anwendung anderer Homologietheorien auf dieses Spektrum ergeben. Die Strategie wurde von Ralph Cohen, John Jones, and Graeme Segal vorgeschlagen und in bestimmten Fällen für die Seiberg-Witten-FH von Kronheimer und Manolescu und für die symplektische FH von Kotangent-Bündeln von Cohen durchgeführt.
[Bearbeiten] Weiterentwicklung von Techniken
Viele dieser FH sind nicht vollständig und streng konstruiert worden und viele vermutete Äquivalenzen sind noch offen. Probleme ergeben sich aus technischen Schwierigkeiten z.B. in der Kompaktifizierung der Modulräume der pseudoholomorphen Kurven. Hofer hat zusammen mit Kris Wysocki und Eduard Zehnder neue Techniken mit ihren Theorien der polyfolds und der "verallgemeinerten Fredholm Theorie" entwickelt.
[Bearbeiten] Berechnung
Floer Homologien (FH) sind im allgemeinen schwierig explizit zu berechnen. Beispielsweise ist die symplektische FH nicht einmal für alle Flächen-Symplektomorphismen bekannt. Die Heegaard-FH ist die Ausnahme - sie ist für verschiedene Klassen von 3-Mannigfaltigkeiten berechnet worden und dabei wurde ihr Zusammenhang mit anderen Invarianten beleuchtet.
[Bearbeiten] Literatur
Bücher und Überblicksartikel:
- Atiyah, Michael New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds. The mathematical heritage of Hermann Weyl (Durham, NC, 1987), 285-299, Proc. Sympos. Pure Math., 48, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.
- David A. Ellwood, Peter S. Ozsvath, Andras I. Stipsicz, Zoltan Szabo (Hrsg) Floer Homology, Gauge Theory, And Low-dimensional Topology Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2004 Summer School, 2006 (Clay Mathematics Proceedings, Bd. 5) (Paperback), ISBN 0-8218-3845-8
- Dusa McDuff, Dietmar Salamon Introduction to Symplectic Topology, Oxford Mathematical Monographs, 1998, ISBN 0-19-850451-9.
- Dusa McDuff Floer theory and low dimensional topology. To be published in Notices of AMS, 2006. Preprints auf Homepage von Dusa McDuff
- Augustin Banyaga, David Hurtubise Lectures on Morse Homology. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2695-1.
- Simon K. Donaldson mit M. Furuta and D. Kotschick Homology groups in Yang-Mills theories, Cambridge tracts in mathematics Bd. 147, Cambridge University Press 2002. ISBN 0-521-80803-0.
- Matthias Schwarz: Morse Homology, Birkhäuser, 1993.
Artikel:
- Mikhail Gromov Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds. Inventiones Mathematicae Bd.82, 1985, S. 307-347.
- Peter Ozsváth, Zoltán Szabó On the Heegaard Floer homology of branched double-covers, Advances in Math., Bd.194, 2005, S.1--33. Online hier: a preprint.
- Andreas Floer The unregularized gradient flow of the symplectic action. Comm. Pure Appl. Math. Bd.41, 1988, S.775-813.
- Andreas Floer An instanton-invariant for 3-manifolds, Comm. Math. Phys. Bd.118, 1988, S. 215-240. Project Euclid
- Andreas Floer Morse theory for Lagrangian intersections, J. Differential Geom. Bd(, 1988, S.513-547.
- Andreas Floer Cuplength estimates on Lagrangian intersections, Comm. Pure Appl. Math. Bd.42, 1989, S. 335-356.
- Andreas Floer Symplectic fixed points and holomorphic spheres. Comm. Math. Phys. 120, no. 4, 1989, 575-611.
- Andreas Floer Witten's complex and infinite dimensional Morse Theory. J. Diff. Geom. Bd.30, 1989, S. 202-221.
- Helmut Hofer, Kris Wysocki, Eduard Zehnder A General Fredholm Theory I: A Splicing-Based Differential Geometry, online hier: [1]
[Bearbeiten] Quellen und Fussnoten
- ↑ Eine Variante der Khovanov-Homologie ist nach Ozsvath-Szabo (2005) über eine Spektralsequenz mit der Heegaard-Floer-Homologie einer entlang eines Knotens verzweigten Raumes verbunden
