Diskussion:Gaußsches Eliminationsverfahren

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Inhaltsverzeichnis 1 Stabilitätseigenschaften 2 "Gauß'sches Eliminationsverfahren" — Schreibweise mit oder ohne Apostroph 3 Hilfe für Facharbeit 4 Lösbarkeitsaussagen sind nicht korrekt 5 Lob 6 Komplexität 6.1 Anzahl der Operationen vs. Multiplikationen/Divisionen 7 "Er eignet sich nicht zur numerischen Berechnung"? 8 Stabilität in der Einleitung 8.1 Vorschlag Einleitung 9 Spaltentausch

[Bearbeiten] Stabilitätseigenschaften

Mir scheint die Frage nach Rundsfehlern bzw. der Stabilität nicht von extrem großer Bedeutung. Weshalb das Gaußsches Eliminationsverfahren hier besonders schlecht sein sollte, kann ich nicht nachvollziehen. Es sollte aber möglich sein dieses "Problem" in den Griff zu bekommen. Dazu sollte es genügen auf Divisionen zu verzichten. Dazu können die Zeilen durch geeigente Multiplikation auf das KgV ganzer Zahlen gebracht werden.

Benutzer:Fsswsb 02.05.06

Bitte sieh in diesem Artikel von Änderungen ab, wenn du die Sache nicht überblickst. Zum Einstieg solltest du ein Numerik-Buch lesen. Obiger Kommentar zeigt, dass du dich noch nicht mit den numerischen Eigenschaften beschäftigt hast. Das Gaußsche Eliminationsverfahren arbeitet per Definition mit Divisionen. Deine Ideen mögen vielleicht interessant sein. Doch wenn du diese publizieren möchtest, so benutze eine eigene Homepage oder in der Not auch deine Benutzerseite. Damit ersparst du uns, die hier korrekte, wissenschaftlich fundierte Artikel schreiben viel Arbeit. --Squizzz 13:21, 2. Mai 2006 (CEST)

Lass dich nicht abschrecken, jeder gut gemeinte Ratschlag ist willkommen. Das Problem wird bei größeren Gleichungssystemen, die mit dem Computer gelöst werden sollen wichtig. (P.S. unterschreiben kannst du mit ~~~~. --G 23:09, 2. Mai 2006 (CEST)

[Bearbeiten] "Gauß'sches Eliminationsverfahren" — Schreibweise mit oder ohne Apostroph

Wieso gibt es eigentlich ein Apostroph in dieser Bezeichnung? Es wird ja nichts weggelassen. --zeno 11:35, 15. Dez 2003 (CET)

Ist auch falsch - "Gauß' Eliminationsverfahren" und "Gaußsches Eliminationsverfahren" ist richtig. Hab's mal geändert... --Reinhard 11:43, 15. Dez 2003 (CET)

http://www.duden.de/neue_rechtschreibung/regelwerk/gross_06.html Antwort gibt §62. Ich frage mich aber, ob wir hier nicht eine Einheitlichkeit einführen sollten. (Mir persönlich gefällt das Apostroph nicht). 82.82.126.246 11:48, 15. Dez 2003 (CET)

Ergänzung: Falsch ist es m. E. nicht! 82.82.126.246 11:49, 15. Dez 2003 (CET)

Wenn, dann ist das ja wohl §97:

Von dem Apostroph als Auslassungszeichen zu unterscheiden ist der gelegentliche Gebrauch dieses Zeichens zur Verdeutlichung der Grundform eines Personennamens vor der Genitivendung -s oder vor dem Adjektivsuffix -sch

Da gibt es bei Gauß aber eigentlich nichts zu verdeutlichen, denn er kann ja weder "Gaußs", noch "Gaußsch" heissen. Ausserdem heißt "gelegentlicher Gebrauch" nicht, dass das die bevorzugte Schreibweise ist - der Duden hält sich da mittlerweile bedeckt (vermutlich von der grassierenden Apostrophitis eingeschüchtert), der Wahrig ist da direkter und läßt die Schreibweise nicht zu. (Etwas anderes ist wie gesagt das Apostroph im Genitiv, "Gauß' Eliminationsverfahren" an Stelle von "Gaußens Eliminationsverfahren"). --Reinhard 13:22, 15. Dez 2003 (CET)

>Das Österreichische Wörterbuch sagt, dass Ableitungen mit -sche entweder groß und mit Apostroph oder klein und >ohne geschrieben werden können. Also entweder gaußsches Eliminationsverfahren oder Gauß'sches >Eliminationsverfahren. Da hier eindeutig großgeschrieben wird, ist die Schreibung mit Apostroph angebracht. Ich >korrigiere das einmal.

Hey, Österreich, bitte, ey!! Wenn dann nur mit eindeutiger Paragraphenangaben und in der österreichischen Wikipedia! (zurückkorrigiert)-- Kommentar von anonymen benutzer am 9.2.2005 (hinzugefügt G 22:45, 9. Feb 2005 (CET))

Ich glaub dem österr. Wörterbuch und hab das Apostroph wieder eingefügt.--G 22:45, 9. Feb 2005 (CET)

Der Dudenband "Richtiges und gutes Deutsch" beantwortet die Frage eindeutig: "Gauß: Das zum Namen des Mathematikers Gauß gebildete Adjektiv auf -sch wird in neuer Rechtschreibung nicht mehr ohne Apostroph und großgeschrieben; vielmehr schreibt man entweder klein ohne Apostroph gaußsches Prinzip oder groß mit Apostroph, um den Namen hervorzuheben Gauß'sches Prinzip. Wenn in einer Schrift kein ß vorhanden ist, schreibt man gausssches oder Gauss'sches Prinzip. (c) Dudenverlag 1998"

Die Elimination der Koeffizienten, die als vorwärtselimination bezeichnet wird, kann man auch rückwärts betreiben - was meiner Meinung nach - zumindest wenn der Mensch rechnet - weiterhin zu enormen Geschwindigkeitsvorteilen führen dürfte. Abgesehen davon: Man kann eigentlich jeweils eine Spalte wie einen Bruch auf einen gemeinsamen Wert bringen (die anderen Spalten müssen also entsprechend angepasst werden). Auf diese Weise kann man Vorwärts- und Rückwärts Elimination eigentlich gleich in einem Schritt erledigen. (Hat das vor mir eigentlich auch schon jemand entdeckt?) --Bodo Thiesen 0:56, 16. Dez 2003 (CET)

[Bearbeiten] Hilfe für Facharbeit

Ich schreibe zur Zeit meine Facharbeit, in der ich das Gaußsche Eliminationsverfahren und die Cramersche Regel vergleichen muss. Weiß jemand was(Literatur!)? Danke --G 23:29, 5. Jul 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Lösbarkeitsaussagen sind nicht korrekt

Die Aussage über die Lösbarkeit des Systems (befindet sich im Beispiel) stimmt so nur für den Fall, dass gleich viele Unbekannte und Gleichungen vorliegen. Der Hinweis von Bodo ist auch korrekt. Man spart viel Arbeit (zumindest bei großen Systemen), wenn man "Bodos" zweiten Schritt nutzt. --HolgerK 11:25, 1. Sep 2004 (CEST)

Nicht hierher schreiben, sondern einfach den Artikel korrigieren! --G 12:24, 1. Sep 2004 (CEST)

So etwas hatte ich schon erwartet. Allerdings sind die zwei Änderungen dann derzeit doch zuviel für mich (und meine Zeit). Vielleicht komme ich in endlicher Zeit dazu...--HolgerK 14:51, 1. Sep 2004 (CEST)

Du kannst auch kleine Schritte machen. Ansonsten lass dir ruhig Zeit.--G 14:54, 1. Sep 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Lob

Ihr Jungs seid im Übrigen für einen jungen Maschinenbau Studenten ein echter Segen !!! Danke. -Felix

Wir freuen uns, wenn wir helfen konnten. Vielleicht gibt es ja ein Thema, bei dem du anderen helfen kannst...-G 19:07, 31. Jan 2006 (CET)

[Bearbeiten] Komplexität

Woher kommt die Aussage über die Komplexität? Nach meiner Rechnung benötigt der Algorithmus höchstens n² viele Operationen, aber vielleicht habe ich einen Fehler gemacht. Übrigens ist die Formulierung "Die Komplexitätsklasse des Gaußschen Eliminationsverfahrens ist O(n³)" nicht ganz präzise. Die O-Notation gibt eine obere Schranke für das asymptotische Verhalten an, sie *ist* nicht die Komplexitätsklasse. Auch die Erklärung über Proportionalität ist so leider nicht ganz korrekt. -- ni_ka_ro 22:42, 3. Mai 2005 (CEST)

Durch den Pseudocode dürfte die Laufzeit von O(n³) nun klar sein. Man vergisst häufig die Zeit, die benötigt wird, um zwei Zeilen zu addieren. Komplexitätsklasse habe ich durch Zeitkomplexität ersetzt. --Squizzz 01:38, 4. Mai 2005 (CEST)

OK, die Laufzeit ist O(n³), wenn man arithmetische Operationen betrachtet. Die Anzahl der Zeilenoperation ist quadratisch. Danke für den Hinweis und den hinzugefügten Algorithmus!

Mit dem Begriff "Zeitkomplexität" bin ich allerdings noch immer nicht ganz zufrieden ;-) Die Komplexitätsklasse bzw. die "Zeitkomplexität" bezieht sich auf das Problem, also hier das Lösen eines Gleichungssystems, während das Gaußsche Eliminationsverfahren ein Verfahren bzw. Algorithmus ist. Wie wäre es mit

"Die Laufzeit des Algorithmus, der das Gaußsche Eliminationsverfahren durchführt, ist kubisch, d.h. die Anzahl arithmetischer Operationen ist bei einer nxn-Matrix durch O(n³) beschränkt."

Sorry für die Haarspalterei... -- ni_ka_ro 20:49, 4. Mai 2005 (CEST)

Da gibt's nichts zu entschuldigen. Deine Einwände sind korrekt und ich habe sie auch gleich eingefügt --Squizzz 06:30, 5. Mai 2005 (CEST)

Noch etwas: sieht optisch / subjektiv nach mehr aus, als es ist — viele von uns haben z.B. <math>O(n & \log & n)</math> (warum gibt das einen Parser-Fehler?!) im Kopf für schnelle Sortierverfahren, aber dabei ist n die Länge des Inputs, d.h. die Anzahl zu sortierender Objekte; bei der Matrix-Inversion ist die Länge des Inputs jedoch n², die Laufzeitkomplexität des Algorithmus wäre also mit zu veranschlagen, falls n die Länge des Inputs darstellt, oder?! — Nol Aders 4. Jul 2005 10:18 (CEST)

Die Anzahl der benötigten Operationen ist imho ungefähr 2/3 n^3 Das O(n^3) macht einen Vergleich mit anderen direkten Verfahren die auch O(n^3) sind schwierig. --Mathemaduenn 14:13, 17. Aug 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Anzahl der Operationen vs. Multiplikationen/Divisionen

Im zitierten Buch ist sicher von Multiplikationen/Divisionen(bzw. nur Multiplikationen wie hier die Rede da im Artikel aber Operationen steht, sollte auch +/- dabei sein. Also ca. Alternativ kann man natürlich auch nur von Multiplikationen sprechen viele Grüße --Mathemaduenn 10:06, 29. Aug 2006 (CEST)

[Bearbeiten] "Er eignet sich nicht zur numerischen Berechnung"?

LR-Zerlegung und ähnliche Verfahren sind doch im wesentlichen Gauß Elimination, verbunden mit einer möglichst guten Pivot-Strategie, oder? Ist es dann sinnvoll oder überhaupt zulässig zu sagen, Gauß Elimination eigne sich nicht zur numerischen Berechnung? — Nol Aders 4. Jul 2005 10:28 (CEST)

Sehe ich genau so. Gauss-Algorithmus ist eigentlich immer die beste Wahl (wenn auch in der Ausprägung als LR-Zerlegung)

Ich habe den Satz jetzt mal gestrichen, in der Einleitung wird ja immer noch deutlich, dass das Verfahren nur bedingt empfehlenswert ist. --DaTroll 12:30, 1. Nov 2005 (CET)

[Bearbeiten] Stabilität in der Einleitung

Hallo zusammen,

Ich hatte ja den Satz "Auf Grund seiner schlechten Stabilitätseigenschaften werden in der Praxis zwar meist andere Algorithmen verwendet, doch zum Lösen von Gleichungssystemen per Hand ist es gut geeignet." entfernt. Zur Begründung:

1. Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist sicher auch für Leute interessant denen Stabilität zu schwierig ist. Die schwierigeren Begriffe sollten imho ans Ende. Genau wie Komplexität.
2. Das Wörtchen meist stimmt sicher nicht. Bspw. nutzt das sicher nicht unbedeutende Matlab standardmäßig Gauß (guckstduhier)

Dies sollte man imho anders schreiben oder streichen. Andere Meinungen? viele Grüße --Mathemaduenn 17:51, 30. Aug 2006 (CEST)

Ich hatte den Satz mal eingefügt und muss peinlicherweise eingestehen, dass er so gar nicht wirklich stimmt. Gauß mit Pivotisierung ist durchaus recht stabil, nur ohne halt nicht. In die Einleitung sollte das auf jedenfall, das ist einfach eine sehr wichtige Sache am Verfahren. --P. Birken 18:27, 30. Aug 2006 (CEST)

Hallo P.Birken, Stabilität ist eine sehr wichtige Größe in der Numerik bzw. bei der Berechnung mittels Computer, aber nicht für das Verfahren selbst. Für Matrizen kleiner Dimension (Rechnung per Hand) ist ja sogar eine exakte Berechnung(inkl. Brüchen und so ;-)) möglich - also "exakte Arithmetik". Da spielt Stabilität keine Rolle. Daher würde ich den Begriff Stabilität eher in den Abschnitt "Berechnung mittels Computer" (den es zwar nicht gibt aber Pseudocode und Komplexität gehören sicher dazu) einordnen. Also z.B. Komplexität nach Komplexität und Stabilität umbennen. Damit im Inhaltsverzeichnis etwas von Stabilität steht für Leute die Aussagen dazu suchen. "Aufgrund der vergleichsweise geringen Anzahl an benötigten Grundoperationen ist es zum Lösen per Hand besonders gut geeignet." oder so ähnlich könnte ja in die Einleitung. viele Grüße --Mathemaduenn 08:21, 31. Aug 2006 (CEST)

Ich denke, dass die tatsächliche Anwendung des Gauß-Verfahrens eh nur im Kontext numerischer Anwendung passiert. Und da ist das halt ein ganz zentraler Punkt. Den Abschnitt Komplexität kann man ja trotzdem ausbauen. --P. Birken 09:03, 31. Aug 2006 (CEST)

Ich denke, die meisten lernen einfach(z.B. in der Schule) nur was das Gaußverfahren ist ohne es praktisch später anzuwenden. Um zu verstehen "was es ist und was es macht" braucht man keine Stabilität . Ich dachte da an Wikipedia:Wie_schreibe_ich_gute_Artikel ->Verständlichkeit --Mathemaduenn 09:38, 31. Aug 2006 (CEST)

Naja, die Schule ist nicht das Leben. Die meisten Leute vergessen das Gauss-Verfahren nach der schule wieder. Ansonsten fordert WP:WSIGA auch: "Bei längeren Artikeln sollte unmittelbar im Anschluss eine kurze Einleitung mit einer Zusammenfassung des Artikelinhalts folgen. Sie ermöglicht dem Leser einen Überblick über das Thema, ohne dass er unbedingt einen langen Text lesen muss." Stabilitaet in der Einleitung zu erwaehnen, heisst nicht, dass der Artikel gleich unverstaendlich wird. Es ist schon OK, wenn die Einleitung nicht jedem was sagt. Wichtiger ist aber, dass sie das wichtigste zusammenfasst. --P. Birken 10:18, 31. Aug 2006 (CEST)

O.K. es sollte imho auf jeden Fall der Eindruck vermieden werden Gauß sei nur historisch interessant Ich mach mal einen anderen Vorschlag --Mathemaduenn 10:46, 31. Aug 2006 (CEST)

Ich hab die Einleitung nochmal überarbeitet, weil mir Deine noch nicht das wichtigste zusammenfasste. Dafür habe ich jetzt das Wort Stabilität, was dir nicht gefiel, vermieden. --P. Birken 08:57, 1. Sep 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Vorschlag Einleitung

Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Auf Grund der vergleichsweise geringen Anzahl benötigter Grundoperationenen ist es besonders zum Lösen von Gleichungssystemen per Hand geeignet. Für bestimmte Matrizen kann das Verfahren schlechte Stabilitätseigenschaften aufweisen. In diesem Fall sollten andere Algorithmen verwendet werden.

Das gaußsche Eliminationsverfahren wurde um 1850 von Carl Friedrich Gauß bei Arbeiten auf dem Gebiet der linearen Gleichungssysteme entwickelt, allerdings hatte der chinesische Mathematiker Liu Hui bereits im Jahr 263 eine Beschreibung des Lösungsschemas veröffentlicht.

[Bearbeiten] Spaltentausch

Der Spaltentausch wird im Artikel noch nicht erwähnt.--TN 22:20, 26. Mär. 2007 (CEST)