Generischer Punkt
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Definition
Ein Punkt η eines topologischen Raumes X heißt generisch, wenn X der Abschluss der Teilmenge {η} ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass η in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets irreduzibel.
- Erfüllt ein Raum das Trennungsaxiom T0, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
- In Hausdorffräumen, die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
- Ist x ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes X, so ist der Abschluss von {x} in X eine irreduzible Teilmenge Y von X, und x ist ein generischer Punkt von Y.
[Bearbeiten] Beispiel aus der algebraischen Geometrie
Ist A ein Integritätsbereich, so ist das Nullideal {0} der (einzige) generische Punkt des Spektrums 
; der Restklassenkörper des generischen Punktes ist der Quotientenkörper von A.
[Bearbeiten] Bedeutung für die algebraische Geometrie
Ist X ein irreduzibles Schema und η sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von X äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für η. Ist beispielsweise M eine kohärente Garbe auf X, so ist Mη = 0 äquivalent dazu, dass Mx = 0 für alle x in einer geeigneten offenen Teilmenge von X.
[Bearbeiten] Verwandte Begriffe
Besitzt in einem topologischen Raum jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt, so heißt der Raum nüchtern.
