Gleichrichtwert

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Als Gleichrichtwert (eng. rectified value) einer Funktion bezeichnet man in der Elektrotechnik den integralen Mittelwert des Betrages dieser Funktion. Physikalisch gesehen vergleicht der Gleichrichtwert die elektrolytische Wirkung jeder Halbwelle einer Wechselgröße mit einer adäquaten Gleichgröße, anders ausgedrückt, er zeigt eine Gleichgröße die über eine Periode die gleiche Ladungsmenge transportiert wie eine gleichgerichtete Wechselgröße.

$\overline{\left|x\right|} = {1 \over T}\int_{0}^{T}\left|x(t)\right|dt$

Lässt sich der Verlauf des Signals nicht ohne weiteres beschreiben, kann man zur Berechnung des Gleichrichtwertes folgendes Näherungsverfahren anwenden.

$\overline{\left|x\right|} \approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i| = \frac{1}{n}[|x_1| + |x_2| + |x_3| \cdots + |x_n|]$

wobei $x i$ Abtast- bzw. Momentanwerte sind, die in einem immer gleichen Abstand $Δ t$ während einer Periode T von dem Signal abgelesen werden. Es gilt:

$\frac{\Delta t}{T} = \frac{1}{\frac{T}{\Delta t}} = \frac{1}{n}$ und $\, \Delta t = konst.$

Der Gleichrichtwert gibt also den arithmetischen Mittelwert des Betrages an.

Bei sinusförmigen Verläufen ist der Gleichrichtwert das $\frac{2}{\pi}$ -fache des maximal Wertes (Scheitelwert).

Weitere mögliche Arten, einen Mittelwert zu bilden sind der Gleichwert sowie der Effektivwert.

Bei Spannungsverläufen ist der Gleichrichtwert eine Kenngröße dafür, welche Gleichspannung durch Gleichrichten und Glätten der Ausgangsspannung entsteht.

[Bearbeiten] Herleitung

Gesucht wird ein Gleichsignal, welches über eine Periode genauso groß wie der Mittelwert eines gleichgerichteten Signals ist.

Gleichrichten des Signals
$\, x_t$ --> $\, |x_t|$

Wenn zwei Signale den gleichen Mittelwert haben, haben sie auch den gleichen Flächeninhalt über die Zeit. Der Flächeninhalt berechnet sich über das Integral des zeitabhängigen Signals.

$\int_0^T |x(t)_{signal}| dt = \int_0^T |x(t)_{gleich}| dt$

$\, |x(t)_{gleich}| = |x|$ da x = const.

Daraus folgt: $\left [|x_{gleich}| \cdot t \right ]_{0}^{T} = |x_{gleich}| \cdot T = \int_0^T |x(t)_{signal}| dt$

Daraus ergibt sich die bekannte Formel:
$|x_{gleich}| = \frac{1}{T} \int_0^T |x(t)_{signal}| dt$

[Bearbeiten] Herleitung für sinusförmiges Signal

Gleichrichtwert eines Sinus-Signals

$x(t)= \hat x \cdot \sin(\omega t + \varphi_x)$

$x_{gleich} = \frac{1}{T} \int_0^T |\hat x \cdot \sin(\omega t + \varphi_x)| dt$

nun ist zu beachten das es sich durch den Betrag nur bis T/2 um eine Sinusfunktion und ab T/2 um eine um 180° verschobene Sinusfunktion handelt.

$x_{gleich} = \frac{\hat x}{T} \left [-\frac{1}{\omega} \cos(\omega t + \varphi_{x1})\right ]_{0}^{\frac{T}{2}} + \frac{\hat x}{T} \left [-\frac{1}{\omega} \cos(\omega t + \varphi_{x2})\right ]_{\frac{T}{2}}^{T}$

$\, \varphi_{x1} = 0$ und $\, \varphi_{x2} = \pi$

unter der Voraussetzung das nur eine Periode betrachtet wird folgt $\omega = \frac{2\pi}{T}$ und $\, T = 2\pi$ --> $\, \omega = 1$

$x_{gleich} = \frac{\hat x}{2\pi} \left [-\frac{1}{1} \cos(1 t + 0)\right ]_{0}^{\pi} + \frac{\hat x}{2\pi} \left [-\frac{1}{1} \cos(1 t + \pi)\right ]_{\pi}^{2\pi}$

$cos(0) = 1$ , $cos(π) = - 1$ , $cos(2π) = 1$ , $cos(3π) = - 1$

$x_{gleich} = \frac{\hat x}{2\pi} \left [1 + 1 \right ] + \frac{\hat x}{2\pi} \left [1 + 1 \right ]$

$x_{gleich} = \frac{2}{\pi} \hat x \approx 0,6366 \cdot \hat x$

[Bearbeiten] Vergleich Effektivwert mit Gleichrichtwert

Gleichrichtwert:

$x_{\rm gleich} = \frac{2}{\pi} \hat x \approx 0{,}6366 \cdot \hat x$

Effektivwert:

$x_{\rm eff} = \frac{1}{\sqrt 2} \hat x \approx 0{,}7071 \cdot \hat x$

Der Effektivwert zeigt einen Gleichstrom, der über einem Widerstand die gleiche Energie umsetzt wie der Wechselstrom. Es ist nun zu erkennen, dass eine gleichgerichtete und geglättete Wechselgröße weniger Energie über einem Widerstand umsetzt, als der Effektivwert der Wechselgröße vermuten lässt. Das heißt, ein Wechselstrom erzeugt beim Transport der gleichen Ladungsmenge eine höhere Wärmemenge als ein adäquater Gleichstrom.

Das Verhältnis zwischen Effektivwert und Gleichrichtwert bezeichnet man als Formfaktor.

$k_f = \frac{x_{\rm eff}}{x_{\rm gleich}}$