Gruppenkohomologie

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Gruppenkohomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das ursprünglich der Untersuchung von Gruppen diente, später aber auch insbesondere in der Topologie und Zahlentheorie Anwendungen fand.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition als abgeleiteter Funktor
- 1.1 Beziehung zu Ext
2 Definition über Koketten
- 2.1 Inhomogene Koketten

[Bearbeiten] Definition als abgeleiteter Funktor

Es sei G eine endliche Gruppe. Der Funktor von der Kategorie der G-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen, der einem Modul A die Untergruppe A^G der unter G invarianten Elemente zuordnet, ist linksexakt. Seine n-te Rechtsableitung ist n-te Kohomologiegruppe Hⁿ(G, A) von G mit Koeffizienten in einem G-Modul A.

[Bearbeiten] Beziehung zu Ext

Die Gruppenkohomologie kann auch mithilfe des Funktors Ext definiert werden:

$\mathrm H^n(G,A)=\mathrm{Ext}_{\mathbb Z[G]}^n(\mathbb Z,A);$

dabei ist $\mathbb Z[G]$ der Gruppenring von $G$ und $\mathbb Z$ mit der trivialen $G$ -Operation versehen.

[Bearbeiten] Definition über Koketten

Aus der Beschreibung mithilfe des Funktors Ext ist ersichtlich, dass die Gruppenkohomologie mithilfe einer einmal gewählten projektiven Auflösung des trivialen $G$ -Moduls berechnet werden kann. Sie kann als $(\mathbb Z[G]^n, d_n)$ explizit angegeben werden:

$d_n(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)=\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i(\sigma_1,\ldots,\hat\sigma_i,\ldots,\sigma_n);$

dabei ist

$(\sigma_1,\ldots,\hat\sigma_i,\ldots,\sigma_n):=(\sigma_1,\ldots,\sigma_{i-1},\sigma_{i+1},\ldots,\sigma_n),$

d.h. Index $i$ wird ausgelassen.

Die Gruppenkohomologie ist dann die Kohomologie des Komplexes $(C n, d n)$ mit

$C^n=\{f\colon G^{n+1}\to A\mid f(\sigma\sigma_1,\ldots,\sigma\sigma_{n+1})=\sigma\cdot f(\sigma_1,\ldots,\sigma_{n+1})\}$

und

$(d^{n-1}f)(\sigma_1,\ldots,\sigma_{n+1})=\sum_{i=0}^{n+1}(-1)^if(\sigma_1,\ldots,\hat\sigma_i,\ldots,\sigma_{n+1}).$

Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene Koketten.

[Bearbeiten] Inhomogene Koketten

Die Bedingung der $G$ -Invarianz der Koketten erlaubt es, die Zahl der Kopien von $G$ um eine zu senken: die Gruppenkohomologie kann auch über den Komplex der inhomogenen Koketten $(\tilde C^n,\tilde d^n)$ definiert werden: