Heun-Verfahren
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Das Heun-Verfahren, benannt nach Karl Heun, ist ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben. Es ist ein Einschrittverfahren und gehört zu der Klasse der Runge-Kutta-Verfahren.
Im Gegensatz zum Expliziten Euler-Verfahren erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck.
[Bearbeiten] Verfahren
Zur numerischen Lösung des Anfangswert-Problems:
für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungs-Schrittweite h > 0, betrachte die diskreten Zeitpunkte
und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren
![x^{[P]}_{k+1}=x_k+hf(t_k,x_k) \quad,\quad k=0,1,2,\dots](../../../math/7/9/d/79d5a5bb31f62fcfee873cb932515aa2.png)
und dann
![x_{k+1}=x_k+\frac{1}{2}h(f(t_k,x_k)+f(t_{k+1},x^{[P]}_{k+1})) \quad,\quad k=0,1,2,\dots](../../../math/8/1/1/81170276dfac3feda4c7b6a7a3ab27a7.png)
Die xi sind die Näherungswerte der tatsächlichen Lösungsfunktion x(t) zu den Zeitpunkten ti.
h bezeichnet man als Schrittweite; Verkleinert man die Schrittweite so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich die xi liegen näher am tatsächlichen Funktionswert x(ti)). Der globale Fehler des Verfahren von Heun geht mit h2 gegen Null man spricht auch von Konvergenzordnung 2.
[Bearbeiten] Ähnliche Einschrittverfahren
- Explizites Euler-Verfahren (Eulersches_Polygonzugverfahren)
- Implizites Euler-Verfahren
- Runge-Kutta-Verfahren
- Klassisches_Runge-Kutta-Verfahren
