Diskussion:Hilbertraum

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Zwar ist der L2 ein wichtiger Hilbertraum, aber so wie er in dem Artikel beschrieben ist, ist L2 kein Hilbertraum (da die Definitheit beim Skalarprodukt fehlt). Wäre eine ausführliche Definition zu kompliziert oder sollte man es so, also eigentlich falsch, stehen lassen? --Sabata 19:42, 20. Aug 2004 (CEST)

nur wegen der bisher fehlenden komplexen Konjugation, die ich eben nachgetragen habe ? oder was ist sonst falsch ? ich denke, es spricht nichts gegen eine ausführliche Erklärung. -- Weialawaga 21:34, 20. Aug 2004 (CEST)

Naja, entweder ist beim Integral das Riemann-Integral gemeint, dann ist aber der Raum meines Wissens nach nicht vollständig oder aber das Lebesgue-Integral, dann ist aber die Definitheit verletzt (nur die Null hat Norm null), d.h. wenn ich eine Funktion betrachte, die bis auf eine Nullmenge gleich null ist, aber ansonsten nicht (also nicht die Nullfunktion), dann ist die Norm immer noch null. Lp wird erst zu einem Banachraum, wenn ich zwei Funktionen als gleich definiere, die bis auf Nullmengen gleich sind (=Äquivalenzklassen von Funktionen). Anders gesagt: Lp ist genau dann ein Banachraum, wenn die leere Menge die einzige Nullmenge ist, was aber beim Lebesgue-Maß nicht der Fall ist. --Sabata 22:07, 20. Aug 2004 (CEST)

Was ein L2-Raum ist, sollte hier nicht erklärt werden, sondern in einem entsprechenden Artikel über Lp-Räume. Keine Ahnung obs den schon gibt. --DaTroll 21:00, 22. Aug 2004 (CEST)

Gegenmeinung: die Anforderung "vollständig" ist wichtiger Bestandteil der Definition eines Hilbert-Raums, und die Anmerkung von Sabata hilft, zu veranschaulichen, welche nichttrivialen Implikationen diese Anforderung hat. -- Weialawaga 21:13, 22. Aug 2004 (CEST)

OK, das sehe ich ein. Viele Gruesse --DaTroll 21:17, 22. Aug 2004 (CEST)

Habe erst nicht gesehen, dass es bereits einen Artikel über L^p-Räume gibt. Ich habe jetzt mit einer Bemerkung dorthin verlinkt. Zweimal die L^p-Definition auszuführen, erscheint mir doch etwas zu kompliziert. Danke für die Antworten, --Sabata 17:45, 23. Aug 2004 (CEST)

Ich habe das nochmal umgeschrieben. Im allgemeinen Sprachgebrauch ist mit L2 der Raum der Äquivalenzklassen der quadratintegrierbaren Funktionen gemeint. Deswegen ist es keineswegs falsch, das so zu schreiben. Viele Gruesse --DaTroll 22:02, 23. Aug 2004 (CEST)

Der Telepolis-Artikel Unendlich viele Weltenblasen und Doppelgänger (vom 2. März 2003) linkt hier hin. Und auch Google hat diesen noch recht kurzen Artikel auf Platz eins. Wer also dazu was schreiben kann fühle sich hiermit ermuntert ... :-) --Kurt Jansson 16:21, 4. Mai 2003 (CEST)

Oh Schreck :-) Da werden wir wohl noch was tun müssen :-) --DaTroll 14:05, 20. Mai 2004 (CEST)

Ist "endlich dimensional" und "unendlich dimensional" (also jeweils als zwei getrennte Wörter) Neuschreib, oder immer noch falsch?

Hallo zusammen: Einige Anmerkungen/Anregungen

Es sollte auf jeden Fall der Begriff der Orthogonalität definiert werden.

Zusätzlich könnten die Begriffe

Hilbertraumbasis, Fourierkoeffizient, Besselsche Ungleichung, Parsevalsche Gleichung, Parallelogrammgleichung

definiert werden. Gruss Ed_der_gar

Hab diese Vorschläge gleich in den Artikel gestellt, in der Hoffnung, dass das jemanden animiert, ausführlicheren Text herzustellen. -- Weialawaga 12:18, 21. Mai 2004 (CEST)

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Hallo allerseits,

im Text wird behauptet:

Die Eigenschaft der Isomorphie eines Raums zu seinem Dualraum nennt man Reflexivität.

Das ist so nicht korrekt. Ein Banachraum (und mithin auch Hilberraum) wird als reflexiv bezeichnet, wenn er isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum ist, wobei die kanonische Einbettung des Raums in sein Bidual als Isometrie fungiert. (Es gibt tatsächlich Banachräume (z.B. den Jamesraum), die isometrisch isomorph zu ihrem Bidualraum, aber nicht reflexiv sind (man nennt solche Räume quasifreflexiv).

Gruss, Kai

Ich habe es korrigiert und mit der Definiton verlinkt --NeoUrfahraner 17:33, 10. Feb 2005 (CET)

Hallo. Ich bin mir nicht sicher, ob das Bild zum Hilbertraum wirklich ein mehr an Anschauung bringt:

Man sieht nicht den Raum, in den der 3-d Unterraum eingebettet ist. Kunststück, wie denn auch bei einem unendlichdimensionalen Vektorraum. ;) Außerdem sind die Koordinatenachsen mit Ket-Vektoren beschriftet, die nicht mal jeder Mathematiker kennt.

Ich sehe da Diskussionsbedarf für das Bild,und inwiefern es Sinn macht, da mehr Anschauung als 'der C^n ist ein Hilbertraum' zu geben. --Krlkch 20:23, 1. Jul 2006 (CEST)

Ich kann mir auch nicht vorstellen, dass das Bild wirklich irgendjemand hilft. --NeoUrfahraner 21:31, 1. Jul 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Hilbertraum und Dual isomorph?

Ich lese hier wie auch an anderer Stelle, daß ein Hilbertraum und sein Dual isomorph seien. Meines Wissens sind Hilbertraum und Dual aber anti-isomorph, da die Abbildung $H \rightarrow H^\prime, x \mapsto \langle \cdot, x\rangle$ antilinear ist (also mit komplexer Konjugation)? Weiß jemand genaueres? --Jckr 21:24, 15. Jul 2006 (CEST)

Das kommt wirklich darauf an, welcher der beiden Eingänge des (komplexen) Skalarproduktes der antilineare und welcher der lineare ist, man sich also entscheidet, ob man Mathematiker- oder Physikerkonventionen folgen will. Man definiert sich dann natürlich den Isomorphismus so, dass der lineare Eingang frei bleibt und der antilineare benutzt wird, um dort den Vektor x reinzustecken, der das Funktional x' repräsentiert. ~~Wer will, kann das natürlich auch genau andersherum machen, so dass der 'Isomorphismus' nicht mehr linear, sonder antilinear ist.~~ Das bringt aber allerdings auch keine neue Erkenntnis, außer dass man sich nicht mehr mit linearen Abbildungen beschäftigt. --R. Möws 23:57, 19. Jul 2006 (CEST)

OK, vielleicht war meine Frage etwas unpräzise. Ich nehme an, daß das Skalarprodukt im ersten Argument linear ist, d.h., die o.g. Abbildung $H \rightarrow H^\prime$ ist definitiv antilinear. Man kann auch nicht die andere Abbildung $x \mapsto \langle x, \cdot\rangle$ nehmen, da $y \mapsto \langle x, y\rangle$ nicht linear (sondern antilinear), also nicht in $H^\prime$ wäre. Und meines Wissens ist ein Isomorphismus von Vektorräumen immer linear. Meine Frage bezog sich darauf, ob es vielleicht eine andere Abbildung gibt, bzgl. der ein Hilbertraum und sein Dual isomorph sind. Nur dann wäre nämlich die entsprechende Aussage aus dem Artikel richtig. --Jckr 20:38, 23. Jul 2006 (CEST)

Du hast völlig Recht. Da oben war ich ein wenig unachtsam. Man kommt nicht umhin, dass die Abbildung im komplexen Fall semilinear wird. Im reellen Fall ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum, im komplexen Fall ist die Abbildung nur ein semilinearer Isomorphismus. Ich wäre dafür, diese Eigenschaft nicht anti-isomorph, sondern semi-isomorph zu nennen. Es bleibt ja trotzdem viel Struktur erhalten. Die beiden Bücher, in die ich mal eben geguckt habe, haben auch nur diesen kanonischen Isomorphismus erwähnt. (siehe R.Wüst, Höhere Mathematik für Physiker und Mathematiker, 2. Auflage, Band 1, S.424 und G.Fischer, Lineare Algebra, 13. Auflage S.343) --R. Möws 11:03, 24. Jul 2006 (CEST)

Letztlich haengt es alles von den Definitionen ab. Alt nennt die entsprechende Abbildung im Riesz'schen Darstellungssatz einen isometrisch konjugiert linearen Isomorphismus. Mit konjugiert linear meint er genau das, was in dieser Diskussion als antilinear bezeichnet wird. Letzterer Begriff ist IMHO eher in der Physik und nicht in der Mathematik gebraeuchlich. Insgesamt gehoert diese Diskussion aber IMHO eher zum Riesz'schen Darstellungssatz, in diesem Artikel ist isometrisch isomorph denke ich voellig ausreichend. --P. Birken 11:38, 24. Jul 2006 (CEST)

Ich habe den Artikel mal entsprechend geändert und den Begriff "semilinear" verwendet, da er sich am besten verlinken läßt. Die Aussage, ob ein Hilbertraum und sein Dual isomorph oder anti-/semi-/konjugiert isomorph sind, gehört meines Erachtens schon hierher, wenn man es denn erwähnt. Und im deutschen Artikel zum Rieszschen Darstellungssatz wird darauf noch gar nicht eingegangen. -Jckr 21:18, 27. Jul 2006 (CEST)

Ja, der Artikel zum Darstellungssatz ist noch stark verbesserungswuerdig :-) Deine Aenderungen finde ich gut, wobei ich das "nur" streichen wuerde. Semilinear ist nicht "weniger" als linear. --P. Birken 10:29, 28. Jul 2006 (CEST)

Wähle eine Orthonormalbasis, dann ist die Konjugation auf den Koordinaten ein semilinearer Automorphismus (allerdings nicht kanonisch im Gegensatz zur Riesz-Abbildung).--Gunther 18:09, 30. Jul 2006 (CEST)

Hallo Leute, habe da mal etwas Kritik zu üben. Es ist nicht jeder Hilbertraum isometrisch isomorph zu seinem Dualraum! Beispielsweise ist die Abbildung $\delta \in L^2(\mathbb{Z})^*$ ein Element aus dem Dualraum von $L^2(\mathbb{Z})$ , mit $f \in L^2(\mathbb{Z}), \delta(f) = f(0)$ . Diese Abbildung lässt sich nicht als Skalarprodukt mit einem Element aus $L^2(\mathbb{Z})$ darstellen. MfG Konstantin 3.2.2007 (CET)

Wenn Funktionalanalytiker vom Dualraum reden, meinen sie meist den topologischen und nicht den algebraischen. Das

δ

-Funktional ist aus dem zweiten, aber nicht dem ersten, weil es nicht stetig ist. Insoweit sollte man das im Artikel spezifizieren, welchen Dualraum man meint. Ich hab das mal gemacht. --R. Möws 18:05, 3. Feb. 2007 (CET)

[Bearbeiten] Hilbertraum oder Hilbert-Raum

Im Artikel wird ungefähr gleich oft von Hilbertraum, wie von Hilbert-Raum gesprochen. Auch die Links auf diese Seite verwenden beide Schreibweisen etwa gleich oft. Es sollte nur eine Schreibweise verwendet werden und die zweite als Redirekt weiterleben. Mir gefällt Hilbertraum besser. Andere Meinungen? --Fomafix 19:52, 31. Jul 2006 (CEST)

Das wird man nie ganz vereinheitlichen können. Manche der Begriffe habe ich noch nie ohne Bindestrich gesehen (z.B. "Kronecker-Delta"), aber mir persönlich gefällt Hilbertraum auch besser.--Gunther 22:35, 31. Jul 2006 (CEST)

Hilbertraum liest sich auf den ersten Blick wie Hilber(t)-Traum insofern finde ich Hilbert-Raum eingängiger 15:12, 8. Dez. 2006 (CET)

Dann müsste man aber auch konsequenterweise auch Frechet-Raum schreiben. Das Verleserisko besteht, aber ich halte es für wahrscheinlich, dass fast niemand davon ausgeht, dass Mathematiker sich mit Träumen beschäftigen. Erwähnte ich bereits, dass meine Mitbewohnerin während ihrer Matheprüfung fast Himbeer-Traum statt Hilbertraum gesagt hätte? Der Duden sagt, dass solche Zusammensetzungen i.A. ohne Bindestrich geschrieben werden. --R. Möws 19:05, 9. Dez. 2006 (CET)

[Bearbeiten] trivia

warum ist es wissenswert, dass in manchen unis einige zimmer als hilbertraeume bezeichnet werden? und warum ist es wissenswert, dass die uni in goettingen eine davon ist? bis vor kurzem wurde ja auch noch die tum genannt. die uni karlsruhe koennte man ebenfalls anfuehren und vermutlich noch mehr. aber warum? im banachraum-artikel wird doch auch nicht der bananachraum-witz erzaehlt. -- seth 17:11, 1. Mär. 2007 (CET)

Ich finde es deshalb wissenswert, weil es ein kleines Schlaglicht auf den an einigen mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakultäten gepflegten akademischen Humor wirft. Der Göttinger Hilbertraum ist deshalb erwähnenswert, weil Göttingen eben auch Wirkungsstätte von Hilbert war. Der Banachraum-Artikel könnte meinetwegen auch genausogut den "bananachraum-witz" erzählen. Aber mein Herz hängt nicht daran, und ich werde die Anmerkung über als Hilbertraum bezeichnete Räumlichkeiten nicht wieder einfügen, wenn sie jemand entfernen sollte. (In jedem Fall ist es meiner Meinung nach nicht sinnvoll, wenn alle an irgendwelchen Unis existierenden Hilberträume aufgezählt werden.) —Tobias Bergemann 22:28, 1. Mär. 2007 (CET)

nach dem motto "im zweifel fuer die information" loesche ich den abschnitt dann erstmal nicht noch mal, solange sich niemand weiteres gegen den abschnitt aeussert. allerdinge schreibe ich ihn um, weil z.b. die sache, dass der sprachwitz sich nicht so leicht uebersetzen laesst, imho wirklich irrelevant ist. -- seth (84.57.255.13) 01:31, 4. Mär. 2007 (CET)

Danke. — Tobias Bergemann 09:29, 4. Mär. 2007 (CET)

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Diskussion:Hilbertraum

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