Diskussion:Ideales Gas

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Inhaltsverzeichnis

1 Andere Definition
2 Makroskopisch-phänomenologische Definition
- 2.1 Thermodynamische Eigenschaften von Idealen Gasen
  - 2.1.1 Kalorische Zustandsgleichung
3 zu "Kalorische Gasgleichung"

[Bearbeiten] Andere Definition

Es gibt noch eine andere Definitionen für den Begriff Ideales Gas:

Ein ideales Gas ist ein fiktives Gas, dessen Zustandsgrössen Druck $p$ , Volumen $V$ und (absolute) Temperatur $T$ die Gasgleichung

$p \cdot V = n \cdot R \cdot T$

stets exakt erfüllen, wobei $n$ die Stoffmenge (Teilchenzahl) in Mol und $R = 8,314472J/(mol K)$ die Gaskonstante bezeichnet.

Das Ideale Gas ist also nicht als mikroskopisches Modell, sondern als ein thermodynamisches System mit einer bestimmten (idealen) makroskopischen Eigenschaft definiert. Die Gasgleichung stellt den asymptotischen Grenzfall aller thermischen Zustandsgleichungen bei verschwindender Dichte dar. Die Gasgleichung ist umso besser erfüllt, je kleiner das Eigenvolumen der Teilchen gegenüber dem Systemvolumen und je kleiner das Wechselwirkungspotential der Teilchen gegenüber der kinetischen (thermischen) Energie ist. Ein Ideales Gas und ein Modellgas aus wechselwirkungsfreien Massenpunkten sind nicht dasselbe.

MfG 84.154.241.219 21:59, 17. Feb 2006 (CET)

Guter Einwand, die thermodynamische Seite des idealen Gases kommt im Artikel derzeit noch sehr kurz. Allerdings beschreiben das fiktive Gas wie oben definiert und ein Modellgas aus ww-freien Massepunkten dennoch das gleiche System. Mit Begründen der statistischen Physik war es möglich, die Zustandsgleichung direkt aus einem ww-freien Modellgas herzuleiten, wie bereits im Artikel beschrieben. Insofern kann man das ideale Gas auf beide Arten einführen, was auch im Artikel geschehen sollte – vorzugsweise in der Einleitung oder im Abschnitt „Modell des idealen Gases“. Ich bin allerdings noch unschlüssig wie sich das gut realisieren ließe. Wenn ich ein bißchen Zeit finde, werde ich mich ransetzen.

Nebenbei bemerkt: Die Abschnitte zur Thermodynamik und zum Gültigkeitsbereich habe ich noch nicht überarbeitet. Sie stammen noch aus einer älteren Version, die mehr einem Flickenteppich glich. Hier könnte dein Einwand ebenfalls gut eingebaut werden. –Jensel 17:53, 18. Feb 2006 (CET)

[Bearbeiten] Makroskopisch-phänomenologische Definition

Im Rahmen der phänomenologischen Thermodynamik, also ohne mikroskopisch-statistische Modellvorstellung, läßt sich ein ideales Gas definieren als ein thermodynamisches System, dessen Zustandsgrössen Druck $p$ , Volumen $V$ und (absolute) Temperatur $T$ die allgemeine Gasgleichung

$p \cdot V = n \cdot R \cdot T$

stets exakt erfüllen, wobei $n$ die Stoffmenge (Teilchenzahl) in Mol und $R = 8,314472J/(mol K)$ die Gaskonstante bezeichnet.

Ein Ideales Gas gibt es in Wirklichkeit nicht, jedoch verhalten sich viele reale Gase bei genügender Verdünnung (Dichte $\rho \rightarrow 0$ ), also bei hoher Temperatur und kleinem Druck, annähernd wie ein ideales Gas. Das ideale Gas ist der Grenzzustand eines wirklichen Gases bei unendlicher Verdünnung.

[Bearbeiten] Thermodynamische Eigenschaften von Idealen Gasen

Aus der allgemeinen Gasgleichung und den Hauptsätzen der Thermodynamik kann eine Reihe allgemeiner Aussagen über Ideale Gase gefolgert werden:

Die Innere Energie $U$ eines idealen Gases hängt bei konstanter Stoffmenge nur von der Temperatur ab und ist vom Volumen $V$ und vom Druck $p$ unabhängig:

$U = U(T) \qquad ; \qquad \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T,n}=0 \qquad ; \qquad \left(\frac{\partial U}{\partial p}\right)_{T,n}=0$

Beweis

Aus ${\rm d} U=T \cdot {\rm d} S - p \cdot {\rm d} V$ folgt $\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T=T \cdot \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T - p$ .

Mit der Maxwell-Relation $\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V$ und der allgemeinen Gasgleichung ergibt sich $\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T=\frac{p}{T}$

Aus ${\rm d} U=T \cdot {\rm d} S - p \cdot {\rm d} V$ folgt $\left( \frac{\partial U}{\partial p} \right)_T=T \cdot \left( \frac{\partial S}{\partial p} \right)_T - p \cdot \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T$ .

Mit der Maxwell-Relation $\left( \frac{\partial S}{\partial p} \right)_T = - \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p$ und der allgemeinen Gasgleichung ergibt sich $\left( \frac{\partial S}{\partial p} \right)_T=-\frac{V}{T} \qquad ; \qquad \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T=-\frac{V}{p}$

Die Differenz der Wärmekapazitäten bei konstantem Druck $C p$ und bei konstantem Volumen $C V$ ist unabhängig von Druck und Temperatur:

$C_p - C_V = n \cdot R$

Beweis

Definitionsgemäß gilt: $C_p = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_p \qquad ; \qquad C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V$

Aus $H = U + p \cdot V$ folgt $C_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_p + p \cdot \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p$ .

Aus ${\rm d}U = \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T \cdot {\rm d} V + \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V \cdot {\rm d} T$ und $\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_T=0$ folgt: $\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V = C_v$

Aus der idealen Gasgleichung ergibt sich: $\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p = \frac{n \cdot R}{p}$

Die Wärmekapazitäten $C p$ und $C V$ sind unabhängig von Druck $p$ und Volumen $V$ :

$\left( \frac{\partial C_V}{\partial V} \right)_T = 0 \qquad ; \qquad \left( \frac{\partial C_V}{\partial p} \right)_T = 0$

Beweis

$\left( \frac{\partial C_V}{\partial T} \right)_T = \frac{\partial}{\partial V} \left(\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \right)_T = \frac{\partial}{\partial T} \left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right)_V = 0$

usw

Die Enthalpie $H$ eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab und ist von Volumen und Druck unabhängig:

$H = H(T) \qquad ; \qquad \left( \frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,n}=0 \qquad ; \qquad \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{T,n}=0$

Beweis

Aus $H = U + p \cdot V$ folgt wegen der entsprechenden Aussagen für

U = U (T)

und der allgemeinen Gasgleichung unmittelbar die Behauptung.

Für die Entropie eines idealen Gases folgt aus den Maxwell-Relationen und der allgemeinen Gasgleichung:

$\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = \frac{n \cdot R}{V} \qquad ; \qquad \left( \frac{\partial S}{\partial p} \right)_T = - \frac{n \cdot R}{p}$

Durch Integration ergibt sich:

$S(T,p) = S(T,p_0) - n \cdot R \cdot \ln \left( \frac{p}{p_0} \right)$

oder

$S(T,V) = S(T,V_0) + n \cdot R \cdot \ln \left( \frac{V}{V_0} \right)$

wobei

p 0

und

V 0

Druck bzw Volumen bei irgendeinem Referenzzustand bezeichnen, z.B. bei Normalbedingungen p₀ = 1 atm = 1,01325 bar und T₀ = 0 °C = 273,15 K .

Beide Formen sind äquivalent und können mittels der idealen Gasgleichung ineinander umgeformt werden.

Für die Freie Enthalpie (Gibbs-Potential) eines idealen Gases gilt:

$G(T,p) = H_0(T) - T \cdot S_0(T) + n \cdot R \cdot T \cdot \ln \left( \frac{p}{p_0} \right)$

wobei

H 0 (T)

die Enthalpie und

S 0 (T) = S (T, p 0)

die Entropie bei Standardbedingungen , d.h. bei p₀ = 1 atm = 1,01325 bar bezeichnet. Diese ergeben sich aus der temperaturabhängigen Wärmekapazität

C p = C p (T)

, der Enthalpie

H 0 (T 0)

und der Entropie

S 0 (T 0)

bei Normalbedingungen, d.h. bei T₀ = 0 °C = 273,15 K aus:

$H_0(T) = H_0(T_0) + \int_{T_0}^{T}C_p(T) \cdot {\rm d} T$

$S_0(T) = S_0(T_0) + \int_{T_0}^{T}\frac{C_p(T)}{T} \cdot {\rm d} T$

Anmerkung

Aus der idealen Gasgleichung und den Hauptsätzen der Thermodynamik folgt nicht, daß die spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases unabhängig von der Temperatur wäre. Die Moleküle eines idealen Gases können neben den drei Translationsfreiheitsgraden auch Rotationsfreiheitsgrade und innere Freiheitsgrade (Schwingungen) haben, deren mittlere thermische Anregungsenergie entsprechend der Quantenstatistik nichtlinear von der Temperatur anhängt. Wenn die Moleküle nicht dissoziieren, das Eigenvolumen der Moleküle gegenüber dem Gasvolumen und das Potential der zwischenmolekularen Kräfte gegenüber der thermischen Energie vernachlässigbar klein ist, verhalten sich auch Gase aus Teilchen mit inneren Freiheitsgraden wie ideale Gase, d.h. entsprechend der allgemeinen Gasgleichung.

Die von Theoretikern gepflegte Gleichsetzung des Begriffs "Ideales Gas" mit einem Modellgas aus wechselwirkungsfreien ausdehnungslosen Massenpunkten ohne innere Freiheitsgrade, welches eine konstante temperaturunabhängige spezifische Wärme besitzt, stellt eine unnötige Einengung des Begriffs "Ideales Gas" dar und macht ihn für praktische Anwendungen nahezu unbrauchbar. Viele reale Gase (z.B. Wasserstoff, Methan) erfüllen die allgemeine Gasgleichung oberhalb Zimmertemperatur unter Normaldruck sehr gut, während die Wärmekapazität stark temperturabhängig ist.

MfG 84.154.242.59 22:33, 22. Feb 2006 (CET)

[Bearbeiten] Kalorische Zustandsgleichung

Es bestehen Zweifel an der Richtigkeit folgender Aussage:

"... die kalorische Zustandsgleichung ... lautet für das ideale Gas:

$U =\frac32nRT\qquad U=\frac32Nk_\mathrm{B}T$

Allerdings sind wegen des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik thermische und kalorische Zustandsgleichung voneinander abhängig."

Kann die kalorische Zustandsgleichung in der vorstehenden Form aus der allgemeinen Gasgleichung und den Haupsätzen der Thermodynamik ohne zusätzliche Annahmen gefolgert werden? Wer kann zeigen wie? 84.154.211.10 14:27, 23. Mai 2006 (CEST)

[Bearbeiten] zu "Kalorische Gasgleichung"

Die genannte Form der "Kalorischen Gasgleichung" ist ohne zusätzliche Angaben nicht vollständig, da die innere Energie der idealen Gases von seinen Freiheitsgraden abhängt. Als Resultat des Versucht von Gay-Lussac gilt

$U(T,V,N) = nc_v \cdot T$