Inverses Problem
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Ein mathematisches Problem wird ein inverses Problem genannt, wenn man von den beobachteten Wirkungen eines Systems auf die der Wirkung zugrunde liegenden Ursachen zurückschließen will. Inverse Probleme sind meist sehr schwierig oder gar nicht lösbar. Das Gegenteil eines inversen Problems ist ein direktes Problem, bei dem man ausgehend von der bekannten Ursache die Wirkung des Systems ableiten möchte.
Man unterscheidet gut gestellte und schlecht gestellte inverse Probleme.
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[Bearbeiten] Erklärendes Beispiel
Diese abstrakte Erklärung und die Schwierigkeit von inversen Problemen kann man an einem Beispiel veranschaulichen: Ein Untersee-Boot befinde sich an einer Stelle x in einer Tiefe t im Meer. Der Antrieb sende Schallwellen aus (Motoren- und Propellergeräusche). Kennt man die Eigenschaften dieser Schallwellen (Stärke, Frequenz) und des übertragenden Mediums (Wasser), kann man leicht berechnen, wie laut ein Mikrofon an einer entfernten Stelle y das U-Boot hören kann. Das ist ein einfach zu lösendes, direktes Problem. Man schließt von der Ursache (Geräusch am Ort x in der Tiefe t) auf die Wirkung (akustisches Signal am Mikrofon). Im Rahmen der U-Boot Ortung möchte man umgekehrt aus dem am Ort y gemessenen Motorengeräusch wissen, wo und in welcher Tiefe sich das U-Boot befindet. Dies ist das zugehörige inverse Problem, bei dem man von der Wirkung auf die Ursache schließen möchte. Das Ortungsproblem ist ungleich schwieriger zu lösen. Hat man bei dem empfangenen Signal keine Informationen, aus welcher Richtung der Schall kommt, ist das Problem unlösbar, denn selbst wenn man die Eigenschaften der vom U-Boot ausgesandten Schallwellen kennt, kann man nur den Abstand des U-Bootes zum Empfänger ableiten, nicht aber Richtung und Tiefe.
Weitere Beispiele für inverse Probleme:
- Bei der Computertomographie möchte man aus den Messungen eines beim Durchstrahlen eines Körpers geschwächten Röntgenstrahls (Wirkung) auf den örtlichen Verlauf der Röntgen-Absorption im Körperinnern (Ursache) schließen. Viele inverse Probleme treten im Zusammenhang mit tomographischen Fragestellungen auf.
- Aufnahmen astronomischer Objekte sind manchmal durch die Eigenschaften der Aufnahmegeräte oder durch die Brechung der Erdatmosphäre in ihrer Qualität herabgesetzt. Man möchte von einem schlechten Bild (beobachtete Wirkung) auf das unverfälschte Bild des Objektes (Ursache) schließen.
- Aus den gemessenen Signalen eines Erdbebens (Wirkung) möchte man Eigenschaften des Erdinneren ableiten (Ursache des Bebens).
- Die spektralen Daten der IR-Spektroskopie oder Raman-Spektroskopie einer Mischung von Gasen oder Flüssigkeiten stellen eine Überlagerung der Spektren der im Gemisch enthaltenen reinen Komponenten dar. Bei Kenntnis der Reinstoffspektren möchte man aus den unterschiedlich intensiven Peaks im Gemischspektrum (Wirkung) auf die Konzentrationen (Ursache) der einzelnen Komponenten im Gemisch schließen.
[Bearbeiten] Bücher
[Bearbeiten] Allgemeine inverse Probleme
- Alfred Louis, Inverse und schlecht gestellte Probleme, Teubner, 2001, ISBN 351902084X
- Andreas Rieder, Keine Probleme mit Inversen Problemen, Vieweg, 2003. ISBN 3528031980
- Albert Tarantola, Inverse Problem Theory (als PDF), Society for Industrial and Applied Mathematics, 2005. ISBN 0898715725
[Bearbeiten] Inverse Probleme in der medizinischen Bildgebung
- Frank Natterer, The Mathematics of Computerized Tomography, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. ISBN 0898714931
- Frank Natterer und Frank Wübbeling, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. ISBN 0898714729
