Kan-Erweiterung

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In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die eine Gleichung $?\circ F=X$ lösen und darüberhinaus durch eine gewisse universelle Eigenschaft bestimmt sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Linksseitige Kan-Erweiterung
- 1.2 Rechtsseitige Kan-Erweiterung
2 Literatur

[Bearbeiten] Definition

Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.

[Bearbeiten] Linksseitige Kan-Erweiterung

Seien $\mathcal{A}$ , $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$ Kategorien, L, X, F und M Funktoren und $σ$ und $α$ natürliche Transformationen.

Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors $X\colon \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ entlang eines Funktors $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ist ein Paar $(L\colon \mathcal{B} \to \mathcal{C}, \varepsilon\colon X \to L\circ F)$ , das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes $M\colon \mathcal{B}\to\mathcal{C}$ und jedes $\alpha\colon X \to M\circ F$ gibt es genau ein $\sigma\colon L \to M$ mit $\sigma_F \circ \varepsilon = \alpha$ , wobei $\sigma_F(A) = \sigma\left(F(A)\right)$ .

[Bearbeiten] Rechtsseitige Kan-Erweiterung

Seien $\mathcal{A}$ , $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$ Kategorien, R, X, F und M Funktoren und $δ$ und $μ$ natürliche Transformationen.

Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors $X\colon \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ entlang eines Funktors $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ist ein Paar $(R\colon \mathcal{B} \to \mathcal{C}, \eta\colon R\circ F\to X)$ , das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes $M\colon \mathcal{B}\to\mathcal{C}$ und jedes $\mu\colon M\circ F\to X$ gibt es genau ein $\delta\colon M \to R$ mit $\eta \circ \sigma_F = \mu$ , wobei $\delta_F(A) = \delta\left(F(A)\right)$ .