Laguerre-Polynome

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Inhaltsverzeichnis

1 Laguerre-Polynome
2 Zugeordnete Laguerre-Polynome
3 Wasserstoffatom
4 Weblinks

[Bearbeiten] Laguerre-Polynome

Laguerre-Polynome (nach Edmond Laguerre) sind die Lösungen der Laguerreschen Differentialgleichung

$x \, y''(x) + (1-x)\,y'(x) + n y(x) = 0 \qquad n = 0,1,\ldots$

Das n-te Laguerre-Polynom lässt sich über die Rodrieguez-Formel

$L_n(x):=\frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})$

darstellen. Es handelt sich dabei um eine Polynom vom Grade $n$ . Über die ersten Laguerre-Polynome

L 0 (x) = 1

L 1 (x) = - x + 1

$L_2(x) = \frac{1}{2}\,(x^2 - 4\,x + 2)$

$L_3(x) = \frac{1}{6}\,(-x^3 + 9\,x^2 -18\,x + 6)$

lassen sich die Weiteren über folgende Rekursionsformeln berechnen:

$(n+1) \, L_{n+1}(x) = (2\,n+1-x)\,L_n(x) - n\,L_{n-1}$

$x\,L_n'(x) = n\,L_n(x) - n\,L_{n-1}(x)$

[Bearbeiten] Zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten-Laguerre Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über

$L_n^k(x) = (-1)^k \, \frac{d^k}{dx^k} \, L_{n+k}(x)$

zusammen. Ihre Rodriguez-Formel lautet

$L_n^k(x) = \frac{e^x \, x^{-k}}{n!} \, \frac{d^k}{dx^k} \, (e^{-x}\,x^{n+k}).$

Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerregleichung

$z\,y''(x) + (k+1-x)\,y'(x) + (p-k)\,y(x) = 0, \qquad n = 0,1,\ldots \qquad k \le n.$

Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten

$L_0^k(x) = 1$

$L_1^k(x) = -x + k + 1$

$L_2^k(x) = \frac{1}{2}\,\left[x^2 - 2\,(k+2)\,x + (k+1)(k+2)\right]$

$L_3^k(x) = \frac{1}{6}\,\left[-x^3 +3\,(k+3)\,x^2 - 3\,(k+2)\,(k+3)\,x + (k+1)\,(k+2)\,(k+3)\right]$

[Bearbeiten] Wasserstoffatom

Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom, bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential. Verwendet man die leicht abgewandelten Definitionen

$L_n(x) = e^x \, \frac{d^n}{dx^n} \, (x^n \, e^{-x})$

$L_n^k(x) = \frac{d^k}{dx^k}\,L_n(x)$

so lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion als

$R_{nl}(r) = D_{nl} \, e^{-\kappa\,r} \, (2\,\kappa\,r)^l \, L_{n+l}^{2\,l+1}(2\,\kappa\,r)$

schreiben (Normierungskonstante $D n l$ , charakteristische Länge $κ$ , Hauptquantenzahl $n$ , Bahndrehimpulsquantenzahl $l$ ). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle.