Lemma von Schur

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Das Lemma von Schur beschreibt die Homomorphismengruppe von irreduziblen Moduln, mit folgendem Ergebnis: Sind zwei solche Moduln nicht isomorph, so gibt es keine Homomorphismen zwischen ihnen.

---

Das Lemma von Schur in der modultheoretischen Fassung lautet (R sei ein Ring mit 1):

Es seien M, N irreduzible R-Linksmoduln. Dann gilt:

1. 
2. End_R(M) ist ein Schiefkörper.

In der darstellungstheoretischen Fassung lautet das Lemma von Schur (G sei eine endliche Gruppe, K ein Körper):

Es seien irreduzible Darstellungen von G. Dann gilt:

1. Es sei mit . Dann gilt: f=0 oder f ist bijektiv (und in diesem Fall sind ρ und τ äquivalent).
2. Z(ρ) ist ein Schiefkörper.

Die Aussage 2. gilt auch in der Umkehrung, so dass Z(ρ) ein Schiefkörper ist, genau dann wenn die Darstellung ρ irreduzibel ist.

Aufgrund des Zusammenhangs von Darstellungen von G über K und KG-Moduln besagen beide Fassungen das gleiche.