Lokal konvexer Raum

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In der Mathematik, genauer gesagt in der Funktionalanalysis ist lokal konvex eine Eigenschaft eines topologischen Vektorraumes. Ein lokal konvexer Raum kann als eine Verallgemeinerung eines normierten Vektorraumes, oder besser gesagt als Verallgemeinerung eines normierbaren Vektorraumes betrachtet werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Definition 2
3 Beispiele
4 Eigenschaften
5 Verallgemeinerungen
6 Spezialisierungen und Räume mit Zusatzstrukturen

[Bearbeiten] Definition

Ein topologischer Vektorraum $V$ heißt lokal konvex, wenn jede Nullumgebung $U$ eine offene Teilmenge T enthält mit den folgenden drei Eigenschaften:

T ist konvex.
T ist absorbierend.
T ist ausgewogen.

Eine Teilmenge $T$ eines reellen Vektorraumes heißt absorbierend, wenn es zu jedem Vektor x in V eine echt positive reelle Zahl r gibt, so dass rx ein Element von T ist.

Eine Teilmenge T eines reellen Vektorraumes heißt ausgewogen, wenn zu jedem Vektor x in T und jeder reellen Zahl r mit |r|<1 der Vektor rx ebenfalls in T liegt. (Die Strecke von -x nach x liegt in T.)

[Bearbeiten] Definition 2

Eine äquivalente Definition ist die folgende: Ein topologischer Vektorraum V heißt lokal konvex, wenn seine Topologie durch eine Familie $\mathcal{P}$ von Halbnormen definiert werden kann, die $\{x\in V:p(x)=0\; \forall \, p \in \mathcal{P}\}=\{0\}$ erfüllt. Die Bälle bezüglich der Halbnormen $B_p(x,\varepsilon)=\left\{y \in V \,:\, p(x-y) < \varepsilon \right\},\quad x \in V,\, \varepsilon > 0,\, p \in \mathcal{P}$ bilden dabei eine Subbasis der Topologie.

[Bearbeiten] Beispiele

Direkte Limites von Banachräumen wie $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ mit der Familie der Halbnormen $p_k(f)= \max_{x \in [-k,k]} |f(x)|$ .
Alle topologischen Vektorräume mit der schwachen Topologie.
Alle Banachräume sind lokal konvex, wobei die Familie $\mathcal{P}$ einfach nur die (echte) Norm enthält.
Banachräume mit schwacher Topologie sowie Dualräume von Banachräumen mit der schwach-*-Topologie sind lokal konvex, wobei die Familie $\mathcal{P}$ hier durch die Funktionale aus dem Dual- respektive Prädualraum mittels $p y (x) = | y (x) |$ (y:das Funktional) erzeugt werden.
Projektive Limites von Banachräumen sind lokal konvex. Die Familie $\mathcal{P}$ ist durch die Normen der Banachräume, deren Limes gebildet wird, gegeben. Konkretes Beispiel: $\mathcal{C}^\infty([0,1])$ mit der Familie der Normen

$p_k(f)= \sum_{i\leq k} \max_{x \in [0,1]} |f^{(i)}(x)|.$

Obwohl die Familie aus echten Normen besteht, ist der Raum kein Banachraum!

[Bearbeiten] Eigenschaften

Lokal konvexe Räume sind besonders interessant, da sie immer genügend stetige Funktionale besitzen, um Punkte zu trennen. Daraus resultiert insbesondere die Gültigkeit wichtiger Sätze wie