Maßraum

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Ein Maßraum ist eine Struktur der Maßtheorie, die versucht, nahezu beliebigen Mengen einen Inhalt zuzuordnen, genauer ein Maß. Genauer ist ein Maßraum ein Tripel (Ω, Σ, μ), wobei (Ω, Σ) ein messbarer Raum sei, und μ : Σ → R ein Maß.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Vervollständigung
- 3.1 Äquivalente Definition
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

[Bearbeiten] Messbarer Raum, Messraum

Wir beginnen mit einer beliebigen Grundmenge Ω. Wenn eine gewisse Menge Σ von Teilmengen von Ω eine σ-Algebra bildet, dann heißt jede Menge, die Element von Σ ist, messbar (engl. measurable), und die Grundmenge Ω mit der Struktur Σ heißt Messraum (nicht Maßraum) oder auch messbarer Raum (engl. measurable space).

[Bearbeiten] σ-Algebra

Die Forderung, dass Σ eine σ-Algebra ist, bedeutet,

dass Σ mit jeder Menge S auch deren Komplement Ω\S enthält,
dass Σ die leere Menge (und damit auch deren Komplement Ω) enthält, und
dass Σ bezüglich der abzählbaren Vereinigung abgeschlossen ist.

[Bearbeiten] Maß

Ein Maß μ ist eine Funktion, die jeder Menge S aus Σ einen Wert μ(S) zuordnet. Dieser Wert ist entweder eine nichtnegative reelle Zahl oder $\infty$ (siehe unten wegen möglicher Verallgemeinerungen). Ferner muss gelten:

Die leere Menge hat das Maß null: $\mu (\empty) = 0$ .
Das Maß ist abzählbar additiv (auch σ-additiv), das heißt, wenn E₁, E₂, E₃, ... abzählbar viele paarweise disjunkte Mengen aus Σ sind und E deren Vereinigungsmenge ist, dann ist das Maß μ(E) gleich der Summe $\sum{\mu{}(E_k)}$ .

[Bearbeiten] Maßraum

Ein Messraum, auf dem ein Maß definiert ist, heißt Maßraum.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Monotonie: Sind $E 1$ und $E 2$ messbar mit $E_1 \subset E_2$ , so gilt $\mu(E_1)\le \mu(E_2)$ .
Stetigkeit: Ist $E_1 \subset E_2 \subset E_3 \subset ...$ eine aufsteigende Folge von messbaren Menge und ist $E$ deren Vereinigungsmenge, so ist $\mu(E) = \sup_k \mu(E_k)$ .

[Bearbeiten] Vervollständigung

Es sei N das System aller Teilmengen von Mengen Q ∈ Σ, mit μ(Q)=0, also aller Mengen die von Nullmengen überdeckt werden. Ein Maßraum heißt vollständig, falls er all seine Nullmengen enthält.

Das Tripel (Ω, Σ', μ') nennt man Vervollständigung von (Ω, Σ, μ), man setzt: Σ':= {aΔn : a∈Σ,n∈N} (wobei Δ die symmetrische Differenz ist), und man setzt μ(aΔn):=μ(a).

Diese Definition ist sinnvoll, denn wenn aΔn = a'Δn' (mit a, a' ∈ Σ, n, n' ∈ N), dann ist aΔa' = nΔn' ∈ N, somit μ(a)=μ(a').

Es ist Σ' ⊇ Σ, μ'|Σ = μ, und Σ' ist vollständig; daher der Name Vervollständigung.