Mehrwertige Abhängigkeit

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Eine mehrwertige Abhängigkeit (engl. multivalued dependency (MVD)) $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$ zwischen Attributen einer Relation $R$ liegt vor, wenn gilt:
Für zwei Tupel $t_1 \neq t_2$ mit $t 1 [α] = t 2 [α]$ existieren in jeder zulässigen Instanz von $R$ stets zwei weitere Tupel $t_3 \neq t_4$ mit:
$\begin{matrix} t_1[\alpha]=t_2[\alpha]=t_3[\alpha]=t_4[\alpha] \\ t_1[\beta] = t_3[\beta]\\ t_2[\beta] = t_4[\beta]\\ t_1[R- \alpha - \beta]=t_4[R- \alpha - \beta]\\ t_2[R- \alpha - \beta]=t_3[R- \alpha - \beta] \end{matrix}$

Anschaulich:
$\begin{matrix} Tupel & \alpha & \beta & R- \alpha - \beta \\ t_1 & a_1 .. a_n & b_1 .. b_m & d_1 .. d_k \\ t_2 & a_1 .. a_n & c_1 .. c_m & e_1 .. e_k \\ t_3 & a_1 .. a_n & b_1 .. b_m & e_1 .. e_k \\ t_4 & a_1 .. a_n & c_1 .. c_m & d_1 .. d_k \end{matrix}$

Mehrwertige Abhängigkeiten sind trivial, falls $\beta \subseteq \alpha$ oder $\alpha \cup \beta = R$ .

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Im Zusammenhang mit der Normalisierung von Datenbanken wird oftmals die Menge aller von mehrwertigen Abhängigkeiten implizierten Abhängigkeiten benötigt. Ausgangspunkt ist die Menge $D$ bestehend aus funktionalen Abhängigkeiten $F D$ und mehrwertigen Abhängigkeiten $M V D$ . Ziel ist die Bestimmung der Hülle $D +$ . Analog zu den Armstrong-Axiomen zur Erweiterung der funktionalen Abhängigkeiten werden hier nachfolgende Axiome angewendet:

Reflexivität, Erweiterung und Transitivität für funktionale Abhängigkeiten
Wiederholung: Falls $\alpha \rightarrow \beta$ , dann auch $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$
Komplement: Zu jedem $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$ existiert auch $\alpha \rightarrow \rightarrow R- \alpha - \beta$
Mehrwertige Erweiterung: Gelte $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$ und sei $\gamma \subseteq R$ sowie $\delta \subseteq \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \gamma \rightarrow \rightarrow \beta \delta$
Mehrwertige Transitivität: Gilt $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$ und $\beta\rightarrow \rightarrow \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \rightarrow \rightarrow \gamma - \beta$
Verschmelzung: Gilt $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$ , $\gamma \subseteq \beta$ und existiert ein $δ$ mit $\delta \subseteq R$ , $\gamma \cap \delta = \varnothing$ und $\delta \rightarrow \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \rightarrow \rightarrow \gamma$

Auch hier helfen einige weitere abgeleitete Regeln:

Mehrwertige Vereinigung: Wenn $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$ und $\alpha \rightarrow \rightarrow \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta \gamma$
Durchschnitt: Wenn $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$ und $\alpha \rightarrow \rightarrow \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta \cap \gamma$
Differenz: Wenn $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$ und $\alpha \rightarrow \rightarrow \gamma$ , dann gilt auch $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta - \gamma$ bzw. $\alpha \rightarrow \rightarrow \gamma - \beta$

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Kategorie: Datenbankmodellierung

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