Nachfolger (Mathematik)
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In der Mathematik werden durch die Begriffe Nachfolger und Vorgänger die gedanklichen Konzepte der „Abstammung oder Amtsnachfolge“ und des „Zählens“ formalisiert und verallgemeinert.
[Bearbeiten] Nachfolger und Vorgänger beim Zählen und in Ordnungen
Beim Zählen ist der Nachfolger einer ganzen Zahl intuitiv die nächst größere Zahl: So ist etwa 2 der Nachfolger von 1, 3 der Nachfolger von 2 usw. Beim Abwärtszählen kommt man von 9 zu ihrem Vorgänger 8 usw. Diese an sich naive Entdeckung, die Kinder immer wieder im Spiel nachvollziehen, kann man zu einer mathematischen Charakterisierung der natürlichen Zahlen formalisieren, die von Giuseppe Peano entwickelt wurde und ihm zu Ehren Peano-Axiomensystem heißt.
Beim Aufwärts- und Abwärtszählen stellt man fest, dass es auf die Bedeutung der Zahlwörter gar nicht ankommt, sondern nur auf ihre Reihenfolge. Diese Feststellung lässt eine Verallgemeinerung der „Zählnachbarn“ Vorgänger und Nachfolger auf Graphen und geordnete Mengen zu:
[Bearbeiten] Definitionen
Sei (M,<) eine strikt geordnete Menge, 
. Dann heißt
- c Nachfolger von b, wenn b<c ist und kein kleineres Element mit dieser Eigenschaft existiert,
- a Vorgänger von b, wenn a<b ist und kein größeres Element mit dieser Eigenschaft existiert.
Für eine strikte Totalordnung sichert diese Definition zugleich, dass Vorgänger und Nachfolger (falls vorhanden) eindeutig bestimmt sind. Im allgemeinen kann aber ein Element mehrere, untereinander nicht vergleichbare Vorgänger und/oder Nachfolger haben. Dieses allgemeinere Konzept verfolgt die Graphentheorie weiter. Es kommt damit dem vormathematischen Abstammungskonzept nahe.
In der Ordnungstheorie definiert man zu :
- c ist Nachfolger von b, wenn b<c ist und jedes andere Element mit dieser Eigenschaft größer ist,
- a ist Vorgänger von b, wenn a<b ist und jedes andere Element mit dieser Eigenschaft kleiner ist.
Damit sind Vorgänger und Nachfolger auch in nicht total geordneten Mengen eindeutig (sofern vorhanden). Damit wird eher der Zählprozess abgebildet.
[Bearbeiten] Anwendungen
- In einer wohlgeordneten Menge (Ordinalzahl) besitzt jedes Element einen eindeutigen Nachfolger, es sei denn, es ist das Maximum der wohlgeordneten Menge. Elemente ohne Vorgänger heißen hier Limeselemente oder auch Grenz-Ordinalzahlen.
- Die Existenz von Vorgängern und Nachfolgern in geordneten Mengen kann auch mit topologischen Mitteln untersucht werden. Siehe dazu Ordnungstopologie.
