Normalform (Spieltheorie)

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In der Spieltheorie bezeichnen Spiele in Normalform diejenigen Spiele, bei denen alle Spieler ihre Strategien zeitgleich und ohne Kenntnis der Wahl der anderen Spieler festlegen.

Sie unterscheiden sich von den Spielen in Extensivform, bei denen die Spieler ihre Entscheidungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten treffen müssen und dabei teilweise oder vollständige Kenntnis der bereits getätigten Züge der Mitspieler haben können.

Die Normalform für Spiele wurde erstmals von Émile Borel (1921) und John von Neumann (1928) beschrieben, die erkannten, dass im Prinzip jedes Strategiespiel in eine solche Form transformiert werden kann.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Gemischte und reine Strategien
2 Darstellung in Tabellenform
3 Lösungskonzept für Spiele in Normalform

[Bearbeiten] Definition

Die Normalform eines Spiels ist ein Tupel $Γ = (N,Σ, u)$ mit den folgenden Elementen:

Menge der Spieler: $N = \{1, 2, \ldots, n\}$
Strategieraum: $\Sigma = \Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \ldots \times \Sigma_n$; $Σ i$ bezeichnet die Strategiemenge des Spielers $i$ , aus der er seine Züge wählen kann.
Nutzenfunktion: $u:\Sigma \to \R^n$; Dabei ist $u_i:\Sigma \to \R$ die Nutzenfunktion des Spielers $i$ . Abhängig von der eigenen Strategie und der Strategie der anderen Spieler hat der Spieler einen Nutzen oder eine Auszahlung von $u_i(\sigma_1,\ldots,\sigma_i,\ldots, \sigma_n)$ .

[Bearbeiten] Gemischte und reine Strategien

In den so genannten reinen Strategien wählen die Spieler genau ein $\sigma_i \in \Sigma_i$ . Für manche Spiele ist es jedoch notwendig, den Spielern zusätzlich die Möglichkeit einzuräumen, zufällig die Strategien auszuwählen und zuvor lediglich die Wahrscheinlichkeitsverteilung über $Σ i$ anzugeben, mit denen die einzelnen $\sigma_{i,j}\in\Sigma_i$ ausgewählt werden. Dabei bezeichnet $s i$ die Parameter dieser Wahrscheinlichkeitverteilung und $S i$ die Menge der möglichen Parameterkombinationen.

Ist $Σ i$ endlich beziehungsweise abzählbar, so ist $s i$ ein Vektor, wobei $s i, j$ die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Strategie $σ i, j$ gewählt wird.

[Bearbeiten] Darstellung in Tabellenform

Werden nur Spiele mit 2 Spielern, $N = {1,2}$ , betrachtet und sind die Strategiemengen $Σ 1,2$ endlich und überschaubar, kann man ein Spiel in Normalform auch als Tabelle darstellen:

Spieler 1\Spieler 2	$σ 2,1$	$σ 2,2$
$σ 1,1$	(3,3)	(1,2)
$σ 1,2$	(2,1)	(1,1)

In diesem Fall bezeichnet die erste Zahl in der Klammer die Auszahlung des Spielers 1 und die zweite Zahl die Auszahlung des Spielers 2 bei der entsprechenden Strategienkombination. Wählt Spieler 1 beispielsweise Strategie $σ 1,1$ und Spieler 2 $σ 2,1$ , so erhalten beide jeweils eine Auszahlung in Höhe 3.