Parameterintegral

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Einige Integrale in der Analysis lassen sich elementar nicht ausdrücken. Ferner gibt es so genannte Parameterintegrale, wie beispielsweise die Gammafunktion.

Inhaltsverzeichnis

1 Bezeichnung des Parameterintegrals
- 1.1 Beispiel für Parameterintegrale
2 Differenzieren des Parameterintegrals
3 Leibnizregel für Parameterintegrale
- 3.1 Satz

[Bearbeiten] Bezeichnung des Parameterintegrals

Sei $E \subseteq \mathbb{R}^n$ messbar und $E \neq \varnothing$ . Ferner sei $\varnothing \neq D \subseteq \mathbb{R}^n$ und $f : D \times E \to \mathbb{R}$ . Für $f(x, t) \!$ ist $x \in D$ und $t \in E$ . $f \!$ ist bezüglich $t \!$ integrierbar über $E \!$ . Dann heißt $F : D \to \mathbb{R}$

$F(x) = \int_E f(x,t)\mathrm{d}t \!$

Parameterintegral (auch Parameter-Integral) mit dem Parameter $x$ .

[Bearbeiten] Beispiel für Parameterintegrale

Die Gammafunktion

$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \mathrm{d}t.$

[Bearbeiten] Differenzieren des Parameterintegrals

Sind für das Paramterintegral feste Grenzen vorgegeben, kann man es nach folgender Regel ableiten:

(Die Stetigkeit der Funktion $f$ und $f t$ vorausgesetzt)

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_a^b f(x,t)\mathrm{d}x = \int_a^b f_t(x,t)\mathrm{d}x$

[Bearbeiten] Leibnizregel für Parameterintegrale

Für die Praxis ist auch relevant, wie man Parameterintegrale mit abhängigen Funktion von $t$ in den Grenzen ableitet. Nach der Regel von Leibniz (Leibnizregel, auch Leibniz-Regel) geschieht das nach folgendem Verfahren:

[Bearbeiten] Satz

Für stetig differenzierbare Funktionen $χ$ , $\varphi$ und $f$ gilt

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} f(x,t)\mathrm{d}x = \int\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} f_t(x,t) \mathrm{d}x + f(\varphi(t),t)\dot{\varphi}(t) - f(\chi(t),t) \dot{\chi}(t).$

oder in Differentialschreibweise nach Leibniz

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} f(x,t)\mathrm{d}x = \int\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} \frac{\partial}{\partial t}f(x,t) \mathrm{d}x + f(\varphi(t),t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi(t) - f(\chi(t),t) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\chi(t).$