Primideal

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In der abstrakten Algebra ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die viele Eigenschaften einer Primzahl hat.

Inhaltsverzeichnis

1 Primideal eines kommutativen Ringes
2 Primideal eines nichtkommutativen Ringes

[Bearbeiten] Primideal eines kommutativen Ringes

Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und $\mathfrak{p} \subsetneq R$ ein Ideal in R. Man nennt $\mathfrak{p}$ Primideal oder prim, wenn für alle $x, y \in R$ gilt:

Aus $xy \in \mathfrak{p}$ folgt $x \in \mathfrak{p}$ oder $y \in \mathfrak{p}$ .

[Bearbeiten] Äquivalente Definitionen

Ein Ideal $\mathfrak{p}\subset R$ ist genau dann prim, wenn

der Faktorring $R/\mathfrak{p}$ Integritätsring ist.
$\mathfrak{p}\neq R$ und für alle Ideale $\mathfrak{a, b}\subset R$ gilt: $\mathfrak{ab}\subset\mathfrak{p}\ \Rightarrow\ \mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\quad \lor\quad \mathfrak{b}\subset\mathfrak{p}$ .

[Bearbeiten] Beispiele

Die Menge $2\mathbb{Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
Die Menge $6\mathbb{Z}$ der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in $\mathbb{Z}$ , da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
Jedes maximale Ideal ist prim.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ein Element $p \in R$ ist genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.
Enthält ein Primideal einen Durchschnitt $\bigcap \mathfrak{a}_i$ von Idealen, so enthält es auch ein $\mathfrak{a}_i$ .

[Bearbeiten] Primideal eines nichtkommutativen Ringes

Sei R ein Ring mit 1 und $\mathfrak{p} \subset R$ ein (beidseitiges) Ideal in R. Man nennt $\mathfrak{p}$ Primideal oder prim, wenn für alle $x, y \in R$ gilt:

Wenn für alle $r \in R$ gilt, dass $xry \in \mathfrak{p}$ liegt, dann ist $x \in \mathfrak{p}$ oder $y \in \mathfrak{p}$ .

Für einen kommutativen Ring stimmt diese Definition mit der obigen überein, für einen nichtkommutativen unterscheiden sie sich im allgemeinen. Ein Ideal $\mathfrak{p}$ mit der Eigenschaft, das aus $ab\in\mathfrak{p}$ stets $a\in\mathfrak{p}$ oder $b\in\mathfrak{p}$ folgt, heißt vollständiges Primideal oder vollprimes Ideal (engl. completely prime ideal). Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen n×n-Matrizen prim, aber nicht vollprim.