Pseudobetrag
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Ein Pseudobetrag ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Definition
Sei R ein unitärer Ring. Eine Abbildung 
in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt ein Pseudobetrag, wenn für alle 
folgende Eigenschaften gelten:
- (1)
(Definitheit) - (2)
- (3)
(Submultiplikativität)
Wird (3) verschärft zu
- (3a)
(Multiplikativität),
so heißt 
ein Betrag.
Der Pseudobetrag heißt nicht-archimedisch, wenn
- (4)
gilt.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Für einen Pseudobetrag gelten stets
- | − a | = | a |
und
(Dreiecksungleichung).
- Für einen Pseudobetrag gilt stets
, für einen Betrag gilt sogar | 1 | = 1. - Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring.
[Bearbeiten] Beispiele
Sei 
ein unitärer Ring mit Pseudobetrag.
[Bearbeiten] Polynomringe mit Pseudobetrag
Dann sind die Polynomalgebren R[X] in einer bzw. ![R[X_1,\ldots,X_n]](../../../math/a/6/0/a604feb30023ec69ebd39dd7378f4d7a.png)
in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag.
[Bearbeiten] Matrizenringe mit Pseudobetrag
Analog sind die Matrizenalgebren 
wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit 
ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring.
