Quasigruppe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

In der Mathematik ist eine Quasigruppe eine nichtleere Menge $Q$ mit einer binären Verknüpfung $\star$ , in der für alle $a$ und $b$ in $Q$ die Gleichungen

$a \star x = b$ (1)

und

$y \star a =b$ (2)

eine eindeutige Lösung haben.

[Bearbeiten] Beispiele

Jede Gruppe ist eine Quasigruppe, denn $a \star x = b$ ist genau für $x = a^{-1} \star b$ und $y \star a =b$ genau für $y = b \star a^{-1}$ erfüllt.

Jeder Vektorraum über einem Körper der Charakteristik ungleich 2 ist eine Quasigruppe mit der Verknüpfung $x \star y = (x+y)/2$ .

Jedes Steinersche Tripel-System ist eine Quasigruppe.

Jede Menge von Nichtnull-Elementen in einer nullteilerfreien endlichdimensionalen Algebra ist eine Quasigruppe (z. B. die Oktaven ohne 0).

Die einzige Quasigruppe der Ordnung 2 ist die zyklische Gruppe $\Z/2\Z$ . Es gibt fünf Quasigruppen der Ordnung 3, von denen nur Eine eine Gruppe ist. Die kleinste echte Loop (die nicht assoziativ ist) hat die Ordnung 5.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die Linksmultiplikation ( $x\mapsto a\star x$ ) mit einem Element $a$ aus $Q$ ist eine Bijektion von $Q$ , ebenso wie die Rechtsmultiplikation ( $x \mapsto x \star a$ ).

Jede Quasigruppe hat die Kürzungseigenschaft, d.h. aus $a \star b = a \star c$ folgt $b = c$ . Das liegt daran, dass $x = b$ und $x = c$ Lösungen der Gleichung $a \star b = a \star x$ sind, aber die Lösung eindeutig ist. Analog folgt aus $a \star b = c \star b$ , dass $a = c$ .

Die Verknüpfungstabelle einer endlichen Quasigruppe ist ein lateinisches Quadrat: Eine $n \times n$ -Tabelle gefüllt mit $n$ verschiedenen Symbolen, in der in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Symbol genau einmal vorkommt. Umgekehrt ist jedes lateinische Quadrat Verknüpfungstabelle einer Quasigruppe.

Man kann in einer Quasigruppe $Q$ zwei weitere Verknüpfungen definieren: Für $a$ und $b$ aus $Q$ sei a\b die Lösung von $a \star x = b$ und sei b/a die Lösung von $y \star a =b$ (man kann sich diese beiden als "Quasi-Brüche" " $b$ durch $a$ " denken). Dann gilt offenbar:

a * (a \ b) = b
(b / a) * a = b
a \ (a * b) = b
(b * a) / a = b

Dabei beschreiben die ersten beiden Gleichungen die Lösbarkeit von (1) und (2), und die anderen beiden Gleichungen die Eindeutigkeit der Lösungen. Man kann eine Quasigruppe also auch definieren als Algebra ( $Q$ , *, \, /) mit drei binären Verknüpfungen, die die eben genannten vier Gleichungen erfüllen.

Ist $Q$ eine Gruppe, dann ist a \ b = a^-1 * b und b / a = b * a^-1. Ist die Quasigruppe kommutativ, dann sind die beiden Forderungen nach der eindeutigen Lösbarkeit von (1) und (2) gleichwertig und die Verknüpfungen / und \ fallen zusammen.

Hat eine Quasigruppe ein neutrales Element, dann heißt sie eine Loop. Direkt aus der Definition der Quasigruppe folgt, dass in einer Loop jedes Element ein linksinverses und ein rechtsinverses Element hat, die aber - im Gegensatz zur Situation in einer Gruppe - nicht übereinstimmen müssen (siehe auch inverses Element).

Eine Moufang-Loop (benannt nach Ruth Moufang) ist eine Quasigruppe $Q$ , in der für alle $a$ , $b$ und $c$ aus $Q$ gilt:

$(a \star b) \star (c \star a)=(a \star (b \star c)) \star a$ .

Wie der Name anzeigt, ist eine Moufang-Loop eine Loop, was wir hier beweisen wollen. Sei $a$ ein Element von $Q$ und e = a\a das (eindeutig bestimmte) Element mit $a \star e = a$ . Dann gilt für jedes $x$ in $Q$ : $(x \star a) \star x = (x \star (a \star e)) \star x = (x \star a) \star (e \star x)$ , also nach dem Kürzen $x = e \star x$ . Damit ist $e$ ein linksneutrales Element. Sei nun b = e/e das (eindeutig bestimmte) Element mit $b \star e = e$ . Dann gilt $y \star b = e \star (y \star b)$ , da $e$ linksneutral ist, und $(y \star b) \star e = (e \star (y \star b)) \star e = (e \star y) \star (b \star e) = (e \star y) \star e = y \star e$ . Kürzen von $e$ ergibt $y \star b = y$ , also ist $b$ ein rechtsneutrales Element. Schließlich erhalten wir $e = e \star b = b$ , also ist $e$ ein beidseitig neutrales Element.

Jede assoziative Quasigruppe ist eine Moufang-Loop, und als assoziative Loop folglich eine Gruppe. Dies zeigt, dass die Gruppen genau die assoziativen Quasigruppen sind. Die Struktur von Loops ist denen von Gruppen sehr ähnlich.

Wie viele Probleme der Gruppentheorie finden auch Quasigruppen wichtige Anwendungen im Bereich der Kryptographie. Es lassen sich Hashfunktionen, Blockchiffren und auch Signaturverfahren konstruieren (siehe externe Links).

[Bearbeiten] Weblink

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/quasigruppe.html - Enthält auch Verknüpfungstabellen der Quasigruppen der Ordnung 3 und einer echten Loop der Ordnung 5.
http://eprint.iacr.org/2005/352 - Hashverfahren auf Basis Quasigruppen String Transformationen
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~drapal/speccurs.pdf - Übersicht über die wichtigsten kryptographische Anwendungen der Quasigruppen

Von „http://de.wikipedia.org../../../q/u/a/Quasigruppe.html“

Kategorien: Algebra | Gruppentheorie