Reduktionsformel

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Es gibt sicherlich noch andere Reduktionsformeln, hier werden zunächst die der Winkelfunktionen betrachtet.

Inhaltsverzeichnis

1 Reduktionsformeln für Winkelfunktionen
2 Beispiel
3 Begründung
4 Spezielle Werte der Winkelfunktionen

[Bearbeiten] Reduktionsformeln für Winkelfunktionen

Will man die Werte der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans durch Näherungsformeln oder Tabellen bestimmen, ist es ratsam, das Argument φ möglichst klein zu wählen. Diesem Zweck dienen die folgenden Formeln.

[Bearbeiten] Formeln zur Periodizität:

Für alle Winkel $\varphi$ und alle ganzen Zahlen k gilt:

$\sin(\varphi+k\cdot360^\circ) = \sin\varphi$
$\cos(\varphi+k\cdot360^\circ) = \cos\varphi$
$\tan(\varphi+k\cdot180^\circ) = \tan\varphi$
$\cot(\varphi+k\cdot180^\circ) = \cot\varphi$
$\sec(\varphi+k\cdot360^\circ) = \sec\varphi$
$\csc(\varphi+k\cdot360^\circ) = \csc\varphi$

[Bearbeiten] Formeln für 90°-φ (Komplementärformeln):

$\sin(90^\circ-\varphi) = \cos\varphi$

$\cos(90^\circ-\varphi) = \sin\varphi$

$\tan(90^\circ-\varphi) = \cot\varphi$

$\cot(90^\circ-\varphi) = \tan\varphi$

$\sec(90^\circ-\varphi) = \csc\varphi$

$\csc(90^\circ-\varphi) = \sec\varphi$

[Bearbeiten] Formeln für 90°+φ:

$\sin(90^\circ+\varphi) = \cos\varphi$

$\cos(90^\circ+\varphi) = -\sin\varphi$

$\tan(90^\circ+\varphi) = -\cot\varphi$

$\cot(90^\circ+\varphi) = -\tan\varphi$

$\sec(90^\circ+\varphi) = -\csc\varphi$

$\csc(90^\circ+\varphi) = \sec\varphi$

[Bearbeiten] Formeln für 180°-φ:

$\sin(180^\circ-\varphi) = \sin\varphi$

$\cos(180^\circ-\varphi) = -\cos\varphi$

$\tan(180^\circ-\varphi) = -\tan\varphi$

$\cot(180^\circ-\varphi) = -\cot\varphi$

$\sec(180^\circ-\varphi) = -\sec\varphi$

$\csc(180^\circ-\varphi) = \csc\varphi$

[Bearbeiten] Formeln für 180°+φ:

$\sin(180^\circ+\varphi) = -\sin\varphi$

$\cos(180^\circ+\varphi) = -\cos\varphi$

$\tan(180^\circ+\varphi) = \tan\varphi$

$\cot(180^\circ+\varphi) = \cot\varphi$

$\sec(180^\circ+\varphi) = -\sec\varphi$

$\csc(180^\circ+\varphi) = -\csc\varphi$

[Bearbeiten] Formeln für 270°-φ:

$\sin(270^\circ-\varphi) = -\cos\varphi$

$\cos(270^\circ-\varphi) = -\sin\varphi$

$\tan(270^\circ-\varphi) = \cot\varphi$

$\cot(270^\circ-\varphi) = \tan\varphi$

$\sec(270^\circ-\varphi) = -\csc\varphi$

$\csc(270^\circ-\varphi) = -\sec\varphi$

[Bearbeiten] Formeln für 270°+φ:

$\sin(270^\circ+\varphi) = -\cos\varphi$

$\cos(270^\circ+\varphi) = \sin\varphi$

$\tan(270^\circ+\varphi) = -\cot\varphi$

$\cot(270^\circ+\varphi) = -\tan\varphi$

$\sec(270^\circ+\varphi) = \csc\varphi$

$\csc(270^\circ+\varphi) = -\sec\varphi$

[Bearbeiten] Formeln für 360°-φ:

$\sin(360^\circ-\varphi) = -\sin\varphi$

$\cos(360^\circ-\varphi) = \cos\varphi$

$\tan(360^\circ-\varphi) = -\tan\varphi$

$\cot(360^\circ-\varphi) = -\cot\varphi$

$\sec(360^\circ-\varphi) = \sec\varphi$

$\csc(360^\circ-\varphi) = -\csc\varphi$

[Bearbeiten] Anmerkungen:

1. Diese Beziehungen werden meist für $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$ verwendet, sind aber für beliebige Argumente richtig.

2. Um die Formeln im Bogenmaß auszudrücken, muss man jeweils die Gradangaben durch entsprechende Vielfache von $π$ ersetzen, beispielsweise $270^\circ$ durch $\frac{3}{2}\pi$ .

[Bearbeiten] Beispiel

Will man sin(600°) berechnen, bringt man zunächst unter Ausnützung der Periodizität den Winkel auf einen Wert zwischen 0° und 360°, nämlich 240°. Anschließend kann man die Formeln für $\sin(180^\circ-\varphi)$ und $\sin(90^\circ-\varphi)$ verwenden.

$\sin(600^\circ) = \sin(240^\circ+1\cdot360^\circ) = \sin(240^\circ) = \sin(180^\circ+60^\circ) = -\sin(60^\circ)$

$= -\sin(90^\circ-30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Der letzte Wert ergibt sich dabei aus der unten stehenden Tabelle.

[Bearbeiten] Begründung

Geht man von der elementargeometrischen Definition der Winkelfunktionen mit Hilfe des Einheitskreises aus, so lässt sich die Gültigkeit der Formeln für Sinus und Kosinus geometrisch begründen. Kosinus- und Sinuswerte werden dabei als x- und y-Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis interpretiert. Die Abbildung demonstriert die Reduktionsformeln für die Argumente $180^\circ-\varphi$ , $180^\circ+\varphi$ und $360^\circ-\varphi$ . Aus der Richtung der Pfeile kann man jeweils das Vorzeichen ablesen.

Auf ähnliche Weise lassen sich die weiteren Sinus- und Kosinus-Formeln bestätigen. Die restlichen Aussagen erhält man dadurch, dass man den Tangens, Kotangens, Secans oder Kosecans eines Winkels durch die entsprechenden Werte der Sinus- und der Kosinus-Funktion ausdrückt.

In der Analysis werden die trigonometrischen Funktionen durch Potenzreihen definiert. Zum Beweis der Reduktionsformeln kann man den Zusammenhang der natürlichen Exponentialfunktion mit der Sinus- und der Kosinus-Funktion heranziehen.

[Bearbeiten] Spezielle Werte der Winkelfunktionen

Funktionswerte für besonders einfache Winkel:

x		sin x	cos x	tan x	cot x	sec x	csc x
0°	0	1/2 √0 = 0	1/2 √4 = 1	0	nicht definiert	1	nicht definiert
30°	π/6	1/2 √1 = 1/2	1/2 √3	1/3 √3	√3	2/3 √3	2
45°	π/4	1/2 √2	1/2 √2	1	1	√2	√2
60°	π/3	1/2 √3	1/2 √1 = 1/2	√3	1/3 √3	2	2/3 √3
90°	π/2	1/2 √4 = 1	1/2 √0 = 0	nicht definiert	0	nicht definiert	1

Funktionswerte für weitere Winkel:

x		sin x
15°	π/12	$\frac{1}{4} \sqrt{6} \left(1-\sqrt{\frac{1}{3}} \right)$
18°	π/10	$\frac{1}{4} \left(\sqrt{5} - 1 \right) =\frac{\rho}{2}$
22,5°	π/8	$\frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}$
36°	π/5	$\frac{1}{4} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}$
54°	3·π/10	$\frac{1}{4} \left(\sqrt{5} + 1 \right) =\frac{\tau}{2}$
67,5°	3·π/8	$\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}$
72°	2·π/5	$\frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$
75°	5·π/12	$\frac{1}{4} \sqrt{6} \left(1+\sqrt{\frac{1}{3}} \right)$

Dabei ist ρ der Goldene Schnitt, und τ = 1 + ρ:

$\rho = \frac{1}{2} \left(-1 + \sqrt{5} \right) \approx 0{,}61803,\quad \tau = \frac{1}{2} \left(1 + \sqrt{5} \right) \approx 1{,}61803$

Für andere Winkelfunktionen benutze cos(x) = sin(π/2 − x) = sin(90° − x).

Mit Hilfe von Additionstheoremen und Halbwinkelformeln (siehe Trigonometrische Funktion) kann man exakte Werte für weitere Winkel bestimmen. Der kleinste ganzzahlige Winkel für den das möglich ist, beträgt 3° = π/60. Der exakte Wert von sin(3°) ist jedoch ein komplizierter Wurzelausdruck:

$\sin(3^\circ) = \frac{1}{16} \left(\sqrt{30} + \sqrt{10} - \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) +\frac{1}{8} \left(1 - \sqrt{3} \right) \sqrt{5 + \sqrt{5}}$