Reflexive Relation
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Reflexive Relation ist ein Begriff aus der Mathematik.
Eine zweistellige Relation heißt reflexiv, wenn jedes Element der Grundmenge in Relation zu sich selbst steht. Sie heißt irreflexiv, wenn kein Element der Grundmenge in Relation zu sich selbst steht. Reflexiv und irreflexiv sind nicht das Gegenteil voneinander; es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind.
[Bearbeiten] Beispiele
Beispiele reflexiver Relationen sind:
- Die Kleinergleich-Relation auf den ganzen Zahlen: Für jede ganze Zahl z gilt z ≤ z.
- Die „unechte“ Mengeninklusion
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Beispiele irreflexiver Relationen sind:
- Die Kleiner-Relation auf den ganzen Zahlen: Es gibt keine ganze Zahl z, für die z < z gilt.
- Die strikte Mengeninklusion
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Beispiele für Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind:
- Die Relation „A findet B hübsch“ auf der Menge aller Menschen; denn manche Menschen finden sich selber hübsch, andere Menschen finden sich selber nicht hübsch.
- Auf der Menge {0, 1} die Relation {(0,0), (0,1)}, d.h. 0 steht in Relation mit 0 und 1, 1 steht zu keinem Element in Relation.
- Sei f eine Funktion einer Menge A nach A, dann ist die Menge {(x,f(x)) | x ∈ A} (ihr Graph) eine zweistellige Relation auf A, die genau dann reflexiv ist, wenn f die identische Abbildung auf A ist, und genau dann irreflexiv ist, wenn f keinen Fixpunkt hat (also es kein x gibt mit f(x) = x). Die Parabelfunktion
ist als Relation weder reflexiv (denn 2 ≠ f(2)) noch irreflexiv (denn 1 = f(1)).
[Bearbeiten] Sonstiges
Wichtige Klassen reflexiver Relationen sind Halbordnungen und Äquivalenzrelationen. Eine irreflexive Ordnungsrelation heißt strikt.
Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.
