Diskussion:Rotationskörper

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Man könnte hier auch die Formel $V=\pi\int\rho(z)^2dz$ angeben. User:MFH 147.91.173.31 20:52, 10. Mai 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Rotation um die y-Achse

Ist die Rotation um die Y-Achse nicht: $V = \pi \cdot \int_{f(a)}^{f(b)} x^2 \cdot f'(x)\cdot dx$ ? --80.218.38.67

Nein, das gilt nur für f(a) oder f(b)=0, da die Differentiation Summanden nicht beachtet. Ich habe eine dementsprechende Einschränkung eingefügt, den das Problem hat mich auch einige Zeit gekostet ehe ich den Fehler bemerkt habe. In meinem Tafelwerk ist die Formel deshalb gar nicht erst angegeben.--Donovaly 15:52, 11. Jan. 2007 (CET)

Donovaly, dieser Einschränkung liegt meines Erachtens nach ein Denkfehler zugrunde. Im Artikel heisst es:

$V = \pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot f'(x) \mathrm{d}x$ gilt nur, wenn eine der Integrationsgrenzen gleich 0 ist, denn man erhält z.B. sonst für die Rotation der Funktionen $f(x)=x+1 \text{ }\mathrm{f\ddot{u}r}\text{ } f(x)\in [1;3]$ und $f(x)=x \text{ }\mathrm{f\ddot{u}r}\text{ } f(x)\in [0;2]$ ein anderes Volumen bei Rotation um die y-Achse, obwohl beide dasselbe Volumen haben, denn der Summand "1" fällt bei der Differentiation weg.

Hier liegt der Hase im Pfeffer. Die beiden Rotationskörper haben eben nicht dasselbe Volumen. Und diese unterschiedlichen Volumina erhält man eben gerade.--Kramer 22:56, 25. Mär. 2007 (CEST)

Wenn ich mich nicht täusche, erhalten wir nämlich für f(x)=x in [0;2] einen kopfstehenden Kegel mit einem Radius r=2 und der Höhe h=2, wogegen uns f(x)=x+1 in [1;3] bei Rotattion um die y-Achse einen Kegelstumpf mit der Höhe h=2, und den Radien r=1 und R=3 liefert. Entsprechend erhalten wir für den Kegel das Volumen $V=\frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}= 8/3 \pi$ . Für den Kegelstumpf ergibt sich das Volumen $V \, = \, \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)=2/3 \pi \cdot (9 + 3 \cdot 1 + 1)=26/3 \pi$ . Die obenstehende Formel $V = \pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot f'(x) \mathrm{d}x$ liefert uns eben gerade diese Volumina, wenn wir entsprechend einsetzen und integrieren. Ich kann ansonsten auch keinen Beleg für die oben genannte Einschränkung in der Literatur finden. Ich nehme sie deswegen einstweilen aus dem Artikel.--Kramer 04:57, 26. Mär. 2007 (CEST) Die Erläuterungen dazu lassen sich sicherlich noch ausdrucksvoller gestalten. Mache das in den nächsten Tagen.--Kramer 05:10, 26. Mär. 2007 (CEST)

ich wage zu bezweifeln das das erste guldinsche postulat richtig eingefügt ist.... ich konnte aber auch nichts dazu finden....

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