Schemasatz

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Der Schemasatz nach John H. Holland behandelt das Konvergenzverhalten genetischer Algorithmen. Der Satz beweist, dass sich Individuen mit überdurchschnittlicher Fitness mit höherer Wahrscheinlichkeit durchsetzen.

Inhaltsverzeichnis

1 Herleitung

[Bearbeiten] Herleitung

Der Schemasatz betrachtet das Genom eines Individuums, in der Regel also eine Bitkette, die Werte kodiert.

Zunächst muss der Begriff Schema erläutert werden:

Ein Schema ist ein Bitmuster, das eine Menge von Bitketten repräsentiert. Ein Schema besteht aus den Zeichen 0 1 oder #. Das Zeichen # fungiert als Platzhalter für eine 0 oder 1.

Beispielsweise bezeichnet das Schema #101# die folgende Menge von Bitketten:

01010, 01011, 11011, 11010.

Der Schemasatz berechnet nun den Erwartungswert dafür, dass ein gewisses Schema H von einer Generation zur nächsten "überlebt". Hierzu werden die drei zentralen Schritte eines Genetischen Algorithmus untersucht:

Selektion
Crossover (Rekombination)
Mutation

Es wird eine Population bestehend aus N binären Genomen der Länge l zu einem Zeitpunkt t betrachtet. Die verwendete Fitness-Funktion f sei normiert und für alle Bitketten der Länge l definiert.

Im Zuge der Herleitung werden folgende Schreibweisen verwendet:

$o (H, t)$

     Anzahl der Genome zum Zeitpunkt t, die das Schema H enthalten.

$d (H)$

     Der Durchmesser des Schemas H, wird definiert als Länge der kürzesten
     Teilkette, die noch alle festen Bits des Schemas enthält.
     Z. B. d(#0101##1##)=7.

$b (H)$

     Steht für die Anzahl der festen Bits in H. Z. B. b(##0##11#)=3

[Bearbeiten] Selektion

Da die Fitness normiert ist, gilt für die Wahrscheinlichkeit p, dass eine bestimmte Elternkette $H i$ aus einer Population ausgewählt wird: $p (H i) = f (H i)$

Seien nun ohne Einschränkung $H 1,.., H o (H, t)$ alle diejenigen Bitketten der Population zur Zeit t, die das Schema H enthalten Die Fitness des Schemas H wird dann definiert durch: $f(H) = \frac{f(H_1)+ .. + f(H_{o(H,t)})}{o(H,t)}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kette ausgewählt wird, die H enthält, ist somit: $P S e l = p (H 1) + .. + p (H o (H, t)) = o (H, t) f (H).$

Für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Elternketten, die beide H enthalten ausgewählt, werden, gilt: $P_2 = {P_{Sel}}^2$ .

[Bearbeiten] Rekombination (Crossover)

Beim 1-Point-Crossover wird zunächst ein Trennpunkt zwischen den Bitstellen 1 und l-1 gewählt. Falls beide Elternteile H enthalten, so enthält auch die Tochterkette dieses Schema. Enthält nur eine Elternkette das Schema, so wird H im Mittel in der Hälfte der Fälle weitergegeben, falls es nicht beim Crossover selbst durchtrennt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht durchtrennt wird, ist: $\overline{P_{Cut}} = 1-\frac{d(H)-1}{l-1}.$

Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit W, dass beim Crossover das Schema H weitergegeben wird:

$W \geq P_2 + \frac{1}{2} P_1 \overline{P_{Cut}}.$

Falls beim Crossover das Schema H durchtrennt wird, besteht die Möglichkeit, dass das fehlende Teilstück an passender Stelle in der anderen Elternkette enthalten ist. Daher rührt die Ungleichung.

Falls 2-Point-Crossover durchgeführt wird, hat das lediglich Auswirkungen auf $\overline{P_{Cut}}$ , die Wahrscheinlichkeit, dass das Schema durchtrennt wird, steigt.

[Bearbeiten] Mutation

Sei p die Mutationswahrscheinlichkeit, das heißt, jedes Bit der neuen Kette wird mit der Wahrscheinlichkeit p negiert. Dies bedeutet, dass das Schema H mit $b (H)$ festen Bits mit der Wahrscheinlichkeit $\overline{P_{Mut}} = (1-p)^{b(H)}$ erhalten bleibt.

Wird dieser Effekt berücksichtigt, so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit $W'$ , dass eine durch die Operatoren Crossover und Mutation erzeugte Kette das Schema H enthält:

$W' = W \overline{P_{Mut}}$

$W' \geq \left(P_2 + \frac{1}{2} P_1 \overline{P_{Cut}}\right)\overline{P_{Mut}}$

$W' \geq \left(P_{Sel}^2 + P_{Sel}\left(1-P_{Sel}\right) \left(1-\frac{d(H)-1}{l-1}\right)\right)(1-p)^{b(H)}\,.$

Mit $P S e l = o (H, t) f (H)$ .

[Bearbeiten] Fazit

Werden also insgesamt N neue Ketten erzeugt, so gilt für den Erwartungswert der Anzahl der Ketten, die das Schema H zum Zeitpunkt $t + 1$ enthalten: $\langle o(H,t+1) \rangle = NW'$

Die letzten beiden Formeln zeigen, dass Schemata mit überdurchschnittlicher Fitness und kleinem Durchmesser sich mit großer Wahrscheinlichkeit durchsetzen. Die Reproduktionswahrscheinlichkeit steigt aber auch mit der Häufigkeit eines Schemas $o (H, t)$ . Das heißt, ein durchschnittliches Schema kann sich innerhalb einer Population durchsetzen, wenn es oft genug vorkommt. Dieser Effekt wird genetisches Driften genannt.

Weiterhin verdient der Faktor $P_{\overline{Mut}} = (1-p)^{b(H)}$ Beachtung. Eine hohe Mutationsrate p bewirkt eine verstärkte Destruktion erfolgreicher Muster. Andererseits ist eine gewisse Mutationshäufigkeit nötig, um den Suchraum möglichst umfassend zu durchsuchen. Durch Justierung von p kann also die Suchaktivität des Algorithmus gesteuert werden.