Standardfehler

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Der Standardfehler oder Stichprobenfehler (selten Schätzfehler) ist ein Streuungsmaß für eine Stichprobenverteilung. Der Standardfehler des Stichproben-Mittelwertes ist definiert als der Quotient aus der Standardabweichung und der Wurzel des Stichprobenumfangs. Er gibt die Streuung der Stichproben-Mittelwerte ( $\bar X$ ) von gleichgroßen, zufällig aus einer Grundgesamtheit gezogenen Stichproben um den wahren Grundgesamtheitsmittelwert µ an.

Der Standardfehler liefert so eine Aussage über die Güte des ermittelten Mittelwertes. Je mehr Einzelwerte desto robuster ist der Mittelwert, desto kleiner der Standardfehler. Der Standardfehler findet zum Beispiel Anwendung bei der Messung von Naturkonstanten (Lichtgeschwindigkeit, Bindungskonstanten von Enzymen, o.ä.). Wenn hier bei mehreren Messungen unterschiedliche Ergebnisse ermittelt werden, variiert nicht die Naturkonstante, sondern die Abweichungen werden durch Messfehler verursacht, das heißt Ungenauigkeiten des Messgerätes. Misst man häufiger, nähert man sich dem wahren Mittelwert an.

Im Gegensatz dazu bildet die Standardabweichung die in einer Population tatsächlich vorhandene Streuung ab, die auch bei höchster Messgenauigkeit und unendlich vielen Einzelmessungen vorhanden ist (z.B. bei Gewichtsverteilung, Größenverteilung, Monatseinkommen). Sie zeigt ob die Einzelwerte nahe beieinander liegen oder eine starke Spreizung der Daten vorliegt.

Beispiel: Angenommen, wir untersuchen die Population von Kindern, die Gymnasien besuchen, hinsichtlich ihrer Intelligenzleistung. Wenn wir nun zufällig aus dieser Population eine Stichprobe des Umfanges n (also mit n Kindern) ziehen, dann können wir aus allen n Messergebnissen den Mittelwert berechnen. Wenn wir nun nach dieser Stichprobe noch eine weitere, zufällig gezogene Stichprobe mit dergleichen Anzahl von n Kinder ziehen und deren Mittelwert ermitteln, so werden die beiden Mittelwerte nicht exakt übereinstimmen. Ziehen wir noch eine Vielzahl weiterer zufälliger Stichproben des Umfanges n, dann können wir die Streuung aller empirisch ermittelten Mittelwerte um den Populationsmittelwert ermitteln. Diese Streuung ist der Standardfehler. Da der Mittelwert der Stichprobenmittelwerte der beste Schätzer für den Populationsmittelwert ist, entspricht der Standardfehler der Streuung der empirischen Mittelwerte um den Populationsmittelwert. Er bildet nicht die Intelligenzstreuung der Kinder, sondern die Genauigkeit des errechneten Mittelwerts ab.

Formel für den Standardfehler des Stichprobenmittelwertes: $\sigma_n := \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ bzw. $\sigma_{\overline{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , um zu verdeutlichen, dass es sich um die Streuung der Mittelwerte von Stichproben handelt.

mit

σ n

bzw. $\sigma_{\overline{x}}$ der Standardfehler

σ

die Standardabweichung der Grundgesamtheit

n

der Stichprobenumfang

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist in der Regel unbekannt und wird aus der Wurzel der Stichprobenvarianz (s) geschätzt.

Wenn n>29 ist, dann nähert sich die Verteilung der Mittelwerte nach dem zentralen Grenzwertsatz) einer Normalverteilung an.

Der Standardfehler macht die gemessene Streuung (Standardabweichung) von zwei Datensets mit unterschiedlichen Stichprobenumfang vergleichbar, indem er die Standardabweichung auf den Stichprobenumfang normiert.