Teilungsproblem

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Das Teilungsproblem ist ein mathematisches Problem, welches auf Luca Pacioli (1494) zurückgeht. Blaise Pascal und Pierre de Fermat schrieben sich zu diesem Problem Briefe.

Inhaltsverzeichnis

1 Formulierung
2 Gerechtigkeitsbegriff
- 2.1 Vorschlag
- 2.2 Gegenvorschlag
3 Klassische Kompromisslösungen
4 Bemerkungen

[Bearbeiten] Formulierung

Zwei Spieler A und B legen jeweils einen gleichgroßen Geldeinsatz E in einen Topf. Um den im Topf liegenden Betrag G = 2E spielen sie ein Glückspiel welches sich aus mehreren Runden zusammensetzt. In jeder Runde wird eine faire Münze geworfen. Für das Spiel haben sie folgende Regeln vereinbart:

Es muss solange gespielt werden, bis einer der beiden Spieler n-mal gewonnen hat.
Derjenige, der zuerst n-mal gewonnen hat, bekommt den im Topf liegenden Betrag. Der andere bekommt somit, unabhängig davon wie knapp der Vorspung war, nichts.

Auf Grund einer höheren Gewalt muss das Spiel jedoch vor der Entscheidung unerwartet beim Spielstand a:b abgebrochen werden. Die erste Regel ist damit verletzt. Das Spiel kann nicht fortgesetzt oder wiederholt werden und die Geldaufteilung muss gleich erfolgen.

Man versetze sich nun in die Lage eines Richters, der den Gewinnbetrag G im Topf an die beiden Spieler „gerecht“ verteilen soll.

[Bearbeiten] Gerechtigkeitsbegriff

Man beachte, dass das Wort „gerecht“ hier mehr eine juristische als mathematische Bedeutung besitzt.

[Bearbeiten] Vorschlag

Der zurückliegende Spieler argumentiert, dass das Spiel regelwidrig beendet wurde. Er möchte seinen Einsatz E wieder rückerstattet bekommen, sprich die Hälfte von G. Er hätte ja schließlich auch aufholen und gewinnen können.

[Bearbeiten] Gegenvorschlag

Der führende Spieler beansprucht für sich den vollen Geldbetrag. Er beharrt auf der „Alles oder Nichts“-Regel. Gerade wenn er deutlich in Führung liegt ist ja zu erwarten, dass er auch gewinnt.

Die beide kompromisslosen Vorschläge sind mathematisch weder „falsch“ noch „richtig“. Es hängt vielmehr vom juristischen Gerechtigkeitsempfinden des Betrachters ab, ob er einen der Vorschläge als „falsch“ oder „richtig“ wertet. Wie schwer wiegt die zweite Regel noch, wenn doch die erste schon gebrochen wurde?

Kanonisch gerecht erscheinen die folgendenen beiden Ansichten:

Wird das Spiel bei Punktegleichstand abgebrochen, so bekommt jeder die Hälfte, also seinen Einsatz.
Gibt es einen Führenden, so darf dieser keinesfalls weniger bekommen als der Zurückliegende.

[Bearbeiten] Klassische Kompromisslösungen

[Bearbeiten] Pacioli

A bekommt $\frac{a}{a+b}\, G$ und B bekommt $\frac{b}{a+b}\, G$ .

Das Teilungsverhältnis ist $a:b\,$ beim Spielstand a:b.

[Bearbeiten] Tartaglia

A bekommt $\left(\frac{a-b}{n}+1\right) E$ und B bekommt $\left(\frac{b-a}{n}+1\right) E$ .

Das Teilungsverhältnis ist $(a-b+n):(b-a+n)\,$ .

[Bearbeiten] Cardano

A bekommt $\frac{\sum\limits_{k=1}^{n-b} k}{\sum\limits_{k=1}^{n-a} k+\sum\limits_{k=1}^{n-b} k}\, G$ und B bekommt $\frac{\sum\limits_{k=1}^{n-a} k}{\sum\limits_{k=1}^{n-a} k+\sum\limits_{k=1}^{n-b} k}\, G$

Das Teilungsverhältnis ist ${\sum\limits_{k=1}^{n-b} k}:{\sum\limits_{k=1}^{n-a} k}$ .

[Bearbeiten] Fermat und Pascal

A bekommt $\frac{2^{a+b}}{2^{2n-1}} \sum_{k=0}^{n-b-1} {2n-1-(a+b)\choose k}\, G$ und B bekommt $\frac{2^{a+b}}{2^{2n-1}} \sum_{k=0}^{n-a-1} {2n-1-(a+b)\choose k}\, G$

Das Teilungsverhältnis ist $\sum_{k=0}^{n-b-1} {2n-1-(a+b)\choose k}:\sum_{k=0}^{n-a-1} {2n-1-(a+b)\choose k}$ .

[Bearbeiten] Bemerkungen

In der Kette

Vorschlag - Tartaglia - Cardano - Fermat/Pascal - Gegenvorschlag

steigt monoton von links nach rechts die Bevorzugung des Führenden.

Die Lösung von Fermat und Pascal scheint letztendlich die „gerechteste“ bzw. „richtigste“ zu sein, weil sie den Gewinnbetrag gemäß den einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten bei einer fiktiven Spielfortsetzung aufteilt.

Von „http://de.wikipedia.org../../../t/e/i/Teilungsproblem.html“

Kategorie: Wahrscheinlichkeitsverteilung