Tensorprodukt

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Das Tensorprodukt ist ein sehr vielseitiger Begriff der Mathematik: in der linearen Algebra und der Differentialgeometrie dient es der Beschreibung von multilinearen Abbildungen, in der kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

Dieser Artikel beschreibt die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorproduktes. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.

Inhaltsverzeichnis

1 Tensorprodukt von Vektorräumen
- 1.1 Tensorprodukt und Bilinearformen
- 1.2 Erweiterung der Skalare
2 Tensorprodukt über einem Ring
3 Weiterführende Begriffe

[Bearbeiten] Tensorprodukt von Vektorräumen

Sind V und W zwei Vektorräume über einem gemeinsamen Skalarkörper K, so ist das Tensorprodukt

$V\otimes W$

ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist $\{e_i\mid i\in I\}$ eine Basis von V und $\{f_j\mid j\in J\}$ eine Basis von W, dann ist $V\otimes W$ der Vektorraum mit der Basis

$\{e_i\otimes f_j\mid i\in I, j\in J\}.$

Das Symbol $\otimes$ hat dabei keine tiefere Bedeutung, die Basisvektoren "bestehen" einfach aus jeweils einem Basisvektor von V und W. Elemente eines Tensorproduktes heißen Tensoren.

Im endlichdimensionalen Fall mit $I=\{1,\ldots,n\}$ und $J=\{1,\ldots,m\}$ kann man sich das Tensorprodukt als den Raum der n×m-Matrizen vorstellen, deren Eintrag an der Stelle (i,j) dem Koeffizienten des Basisvektors $e_i\otimes f_j$ entspricht.

Die Dimension von $V\otimes W$ ist gleich dem Produkt der Dimensionen von V und W.

Zu je zwei Vektoren v aus V und w aus W gibt es ein Element $v\otimes w$ in $V\otimes W$ , dessen Koordinaten die Produkte der jeweiligen Koordinaten von v und w sind:

Ist $v=(v_1,\ldots,v_n)$ und $w=(w_1,\ldots,w_m)$ , so ist

$v\otimes w=v_1w_1\cdot(e_1\otimes f_1)+\ldots+v_iw_j\cdot(e_i\otimes f_j)+\ldots+v_nw_m\cdot(e_n\otimes f_m).$

In der Veranschaulichung als Matrix bedeutet das: der Eintrag an der Stelle (i,j) ist die i-te Koordinate von v mal der j-ten Koordinate von w. Die Spalten sind Vielfache von v, die Zeilen sind Vielfache von w. (In der Sprache der Matrizen nennt sich diese Konstruktion auch dyadisches Produkt.)

Für das Symbol v $\otimes$ w gelten folgende Rechenregeln:

$(v'+v'')\otimes w = v'\otimes w + v''\otimes w$
$v\otimes(w' + w'') = v\otimes w' + v\otimes w''$
$(\lambda v)\otimes w = \lambda\cdot(v\otimes w) = v\otimes(\lambda w)$ ( $λ$ ein Element des Grundkörpers K)

Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze; auch daher der Name Tensorprodukt.

Im Allgemeinen nichts miteinander zu tun haben jedoch

$v\otimes w$ und $w\otimes v$ ,

selbst wenn V = W ist; andernfalls gehören sie sogar unterschiedlichen Vektorräumen an.

[Bearbeiten] Tensorprodukt und Bilinearformen

Bilinearformen $V\times W\to K$ entsprechen linearen Abbildungen $V\otimes W\to K$ .

Es sei B: V × W → K eine Bilinearform. Dann kann man zeigen, dass

$V\otimes W\to K,\qquad v\otimes w\mapsto B(v,w)$

eine wohldefinierte lineare Abbildung ist.

Ist umgekehrt

$\lambda\colon V\otimes W\to K$

eine lineare Abbildung, so ist die Abbildung

$V\times W\to K,\qquad (v,w)\mapsto \lambda(v\otimes w)$

bilinear.

Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume kann man das Tensorprodukt von V und W also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen V × W → K definieren.

Ein Grund, weshalb man nicht statt des Tensorproduktes mit dem Raum der Bilinearformen arbeitet, ist der folgende: Multilinearformen, also beispielsweise Abbildungen

$U\times V\times W\to K$

für drei K-Vektorräume U, V, W, die linear in jeder Komponente sind, entsprechen linearen Abbildungen

$U\otimes V\otimes W\to K$ ,

aber es gibt keine ähnlich einfache Möglichkeit, Räume von Multilinearformen durch Räume von Bilinearformen auszudrücken; dabei bezeichnet

$U\otimes V\otimes W$

die Räume

$U\otimes(V\otimes W)$ bzw. $(U\otimes V)\otimes W$ ,

die mithilfe von

$u\otimes(v\otimes w)=(u\otimes v)\otimes w$

kanonisch identifiziert werden können. Diese Identifizierung entspricht dem Umstand, dass man aus einer Multilinearform

$U \times V\times W\to K$

einerseits durch Festhalten des Argumentes aus U eine Bilinearform

$V\times W\to K$ ,

andererseits durch Festhalten des Argumentes aus W eine Bilinearform

$U\times V\to K$

erhalten kann.

[Bearbeiten] Erweiterung der Skalare

Ist V ein Vektorraum über K und L ein Erweiterungskörper von K, so kann man das Tensorprodukt

$V_L:=V\otimes_KL$

bilden, indem man auch L als K-Vektorraum auffasst; dies wird durch $\otimes_K$ symbolisiert. V_L wird zu einem Vektorraum über L, wenn man

$\lambda\cdot(v\otimes\mu):=v\otimes(\lambda\mu)\qquad\mathrm{f\ddot ur}\ v\in V,\lambda,\mu\in L$

setzt. Die Dimension von V_L als L-Vektorraum ist gleich der Dimension von V als K-Vektorraum: ist {e_i} eine K-Basis von V, so bildet die Menge

$\{e_i\otimes 1\}$

eine L-Basis von V_L.

[Bearbeiten] Tensorprodukt über einem Ring

[Bearbeiten] Die Grundkonstruktion

Es sei R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul und N ein R-Linksmodul. Dann ist die abelsche Gruppe $M\otimes_RN$ definiert als der Quotient der freien abelschen Gruppe in den Erzeugern $m\otimes n$ (als Symbole) für alle Elemente m von M und n von N nach der Untergruppe, die von

$(m_1 + m_2)\otimes n - m_1\otimes n - m_2\otimes n\qquad (m_1,m_2\in M; n\in N)$
$m\otimes(n_1+n_2) - m\otimes n_1 - m\otimes n_2\qquad (m\in M; n_1,n_2\in N)$
$mr\otimes n - m\otimes rn\qquad(m\in M; n\in N; r\in R)$

erzeugt wird.

[Bearbeiten] Spezialfälle

Ist M ein S-R-Bimodul mit einem weiteren Ring S, so ist

$M\otimes_RN$

ein S-Linksmodul.

Ist R kommutativ, so ist

$M\otimes_RN$

ein R-Modul; die Moduloperation ist gegeben durch

$r(m\otimes n)=(rm)\otimes n=m\otimes(rn).$

Die Moduln

$M\otimes_RN$ und $N\otimes_RM$

sind kanonisch isomorph.

Ist A eine R-Algebra, so ist

$A\otimes_RN$

ein A-Linksmodul; die Moduloperation ist gegeben durch

$b(a\otimes n)=(ba)\otimes n$ für a, b in A.

Ist R ein kommutativer Ring, und sind A und B assoziative R-Algebren, so ist

$A\otimes_RB$

wieder eine assoziative R-Algebra; die Multiplikation ist gegeben durch

$(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2) = (a_1a_2) \otimes (b_1b_2).$

[Bearbeiten] Kategorielle Eigenschaften

Verschiedene Varianten des Tensorproduktes besitzen rechtsadjungierte Funktoren:

Ist R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul, N ein R-Linksmodul und P eine abelsche Gruppe, so gilt:

$\mathrm{Hom}_{\mathbf Z}(M\otimes_RN,P)=\mathrm{Hom}_R(M,\mathrm{Hom}_{\mathbf Z}(N,P));$

dabei ist Hom_Z(N,P) ein R-Rechtsmodul via

$(f\cdot r)(n)=f(rn)\quad\mathrm{f\ddot ur}\ f\in\mathrm{Hom}_{\mathbf Z}(N,P), r\in R, n\in N.$

Ist R ein Ring, S eine R-Algebra, M ein R-Linksmodul und N ein S-Linksmodul, so gilt:

$\mathrm{Hom}_S(S\otimes_RM,N)=\mathrm{Hom}_R(M,N)$ .

Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement und M, N, P drei R-Moduln, so gilt:

$\mathrm{Hom}_R(M\otimes_R N,P)=\mathrm{Hom}_R(M,\mathrm{Hom}_R(N,P))$ .

Insbesondere ist das Tensorprodukt ein rechtsexakter Funktor.

Das Tensorprodukt ist der Pushout in der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement; insbesondere ist für einen kommutativen Ring $R$ mit Eins das Tensorprodukt über $R$ das Koprodukt (für endlich viele Objekte) in der Kategorie der $R$ -Algebren.

[Bearbeiten] Beispiele

Ist R ein Ring, I ein zweiseitiges Ideal und M ein R-Linksmodul, so ist

$M/IM = M\otimes_R R/I.$

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/\mathrm{ggT}(m,n)\mathbb{Z}$
$\mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}/n\mathbb Z=0$
Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist