Diskussion:Transzendente Zahl

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Inhaltsverzeichnis

1 Mehrdeutige Formulierung
2 Nichtkonstruktiv?
3 Definition
4 Neue Zahl
5 Irrelevant
6 Reelle Zahlen abzählbar?
7 Denfinition falsch

[Bearbeiten] Mehrdeutige Formulierung

Aus dem Artikel:"Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs "mehr" war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte. Allerdings konnten sich seine neuartigen Ideen gegen einflussreiche konservative Kritiker wie Leopold Kronecker lange Zeit nicht durchsetzen. Er bewies, dass die Menge der algebraischen reellen Zahlen (in moderner Sprechweise) abzählbar ist..." Wer hat das nun bewiesen? Kantor oder Kronecker? -- Gimbal 21:44, 4. Mai 2005 (CEST)

Cantor, "erstes Diagonalargument".--Gunther 22:30, 4. Mai 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Nichtkonstruktiv?

Im Artikel wird behauptet, dass Cantors Beweis der Existenz von transzendenten Zahlen nicht konstruktiv ist. Das halte ich für falsch.

Cantor gibt in seiner 1974 erschienenen Arbeit erstens eine Aufzählung aller algebraischen reellen Zahlen an (in moderner Sprechweise: eine surjektive Funktion von den natürlichen Zahlen auf die algebraischen), und zeigt dann, wie man aus einer beliebigen Folge reeller Zahlen eine reelle Zahl (als Intervallschachtelung) konstruieren kann, die nicht in dieser Folge vorkommt.

Wuzel 15:37, 30. Apr 2004 (CEST)

Um einmal den bedeutenden Mathematiker Richard Courant seine Meinung dazu kundtun zu lassen: "Cantors Beweis für die Existenz transzendenter Zahlen kann wohl kaum konstruktiv genannt werden. Theoretisch könnte man eine transzendente Zahl konstruieren, indem man Cantors Diagonalverfahren auf eine abgezählte Tabelle von Dezimalbrüchen für die Wurzeln aller algebraischen Zahlen anwendet; aber diese Methode wäre sehr unpraktisch und würde nicht zu einer Zahl führen, die sich im Dezimal- oder einem sonstigen System tatsächlich niederschreiben ließe." (Richard Courant in Was ist Mathematik?) --JensG 19:43, 30. Apr 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Definition

Eine algebraische Zahl ist eine komplexe Zahl x, die Nullstelle, bzw. Wurzel, des Polynoms

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0$

mit rationalen Koeffizienten ist.

Alle anderen Zahlen, die diese Bedingung NICHT!!! erfüllen, also nicht algebraisch sind, heißen transzendent. --Akrostychon 19:29, 5. Sep 2004 (CEST)

Ich sehe den Unterschied nicht. Ob man rationale oder ganzzahlige Koeffizienten verlangt, macht keinen Unterschied. (Ich kann die Gleichung einfach mit dem ggT der Nenner der Koeffizienten multiplizieren und dann hat man eine gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, die die gleichen Nullstellen besitzt.)--Berni 23:12, 5. Sep 2004 (CEST)

Akrostychon, auch ich verstehe dein Problem nicht. Die im April von dir geänderte Definition halte ich übrigens auch für falsch, und damit die Rückgängigmachung für gerechtfertigt. Wenn du magst, kannst du deinen Definitionsvorschlag hier (erstmal nicht im Artikel) aufschreiben, so dass wir ihn diskutieren können. Vielleicht gibt es ja eine verständlichere als die aktuelle. --SirJective 18:05, 6. Sep 2004 (CEST)

Dann wenigstens diese Def. anpassen:

$f(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0} = 0$

auf diese

$f(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{2}x^{2} + a_{1}x = 0 \qquad (n \ge 1, \, a_n \ne 0, \, a_n \in \mathbb{Z}[x]) \, ,$

--Akrostychon 15:03, 11. Sep 2004 (CEST)

Schauen wir mal, wo wir solche Polynome momentan haben:

In transzendente Zahl haben wir zwei davon, eines in "Definition" und eines in "Grad einer algebraischen Zahl"; in algebraische Zahl haben wir eine in der Einleitung und eine in "Grad und Minimalpolynom einer algebraischen Zahl".

Dein Vorschlag entspricht der Schreibweise des zweiten Vorkommens in transzendente Zahl, bis auf den Fehler, dass "a_n in Z[x]" ist (es sollten alle Koeffizienten a_k in Z liegen). Wenn man die Klammer ausformuliert, erhält man das erste Vorkommen in diesem Artikel.

Ich verstehe leider immer noch nicht genau, was du willst. Vielleicht kopierst du mal den ganzen Abschnitt hierher und fügst deinen Vorschlag ein.

@JensG: Die Einschränkung beim Grad, dass n>1 sein soll, ist mir übrigens suspekt und die habe ich beim Kopieren in algebraische Zahl durch n>=1 ersetzt (jede rationale Zahl ist algebraisch vom Grad 1). --SirJective 22:23, 13. Sep 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Neue Zahl

habe eine neue ziemlich transzendente Zahl gefunden

siehe auch The Herkommer Number

$h=2+\frac{3} {5+\frac{7} {11+\frac{13} {17+\frac{19} {23+\frac{29} {31+\frac{37} {41+\frac{43} {47+\frac{53} {59+\frac{61} {67+\frac{71} {73+\frac{p_{n}} {p_{n+1}+\dots} }}}}}}}}}} \qquad (p \in \mathbb{P})$
$h\approx2.53602 70816 89339$

--Akrostychon (Unterschrift nachgetragen SirJective 22:45, 13. Sep 2004 (CEST))

Was ist mit dieser Zahl? Ist sie wirklich transzendent (das folgt nicht allein aus der Nichtperiodizität des Kettenbruchs)? Laut dem Link ist sie "transzendenter" als pi, weil diese Zahl nicht in geschlossener Form (als Kettenbruch) darstellbar ist. Da stellt sich mir die Frage: Was ist eine "geschlossene Form" in diesem Kontext? Und ist die Folge der Primzahlen nicht in "geschlossener Form" darstellbar? --SirJective 22:45, 13. Sep 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Irrelevant

"Dieses kuriose Resultat, nämlich dass eine echte Teilmenge von $\mathbb{R}$ die gleiche Mächtigkeit haben kann wie $\mathbb{R}$ selbst, konnte Cantor durch die Benutzung von Bijektionen erklären."

Dieser Satz ist quatsch, da die erklaert Tatsache/Kuriositaet nichts mit tranzendenten Zahlen oder deren Eigenschaften zu tun hat (sondern viellmehr mit der Definition von Maechtigkeiten).

Beispiel: $\mathbb{N}$ und $\mathbb{N} / \{4\}$ haben die gleiche Kardninalitaet...

[Bearbeiten] Reelle Zahlen abzählbar?

Soweit ich weiß, sind die algebraischen reellen Zahlen auch nicht abzählbar, möchte mich darin aber nicht verbeißen, und überlasse das lieber jemanden, der sich damit auskennt. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Arno Hakk (Diskussion • Beiträge) )

[Bearbeiten] Denfinition falsch

Es heisst

Eine reelle Zahl (oder allgemeiner: eine komplexe Zahl) x heißt transzendent, wenn sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen (endlichen) Grades

a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0} = 0

für n ≥ 1 mit ganzzahligen oder allgemein algebraischen Koeffizienten ak auftreten kann, wobei an ≠ 0 gelten soll.

Das ist falsch. Es sind allgemein rationale Koeffizienten!

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