Umkehrregel
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Die Umkehrregel ist eine Regel der Differentialrechnung. Dabei wird eine Funktion mit Hilfe ihrer Umkehrfunktion differenziert.
Folgende Skizze veranschaulicht die Umkehrregel an einem Beispiel:
Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht einer Vertauschung der Koordinaten x und y. Die Graphen der Funktion f und ihrer Umkehrfunktion f-1 sind also zueinander symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung y = x. Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist gleich der Steigung der zugehörigen Tangente, also gleich dem Tangens des Neigungswinkels gegenüber der Waagrechten. Damit erhält man:
[Bearbeiten] Beweisskizze
Die Umkehrregel kann gezeigt werden, indem man den Differenzenquotient
dahingehend umformt, dass er zu
wird, um anschließend mit t = f(x + h) − f(x) zu substituieren.
Beim Grenzübergang für 
folgt die Behauptung.
[Bearbeiten] Beispiel
Für den natürlichen Logarithmus
lautet die Umkehrfunktion:
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist:
Dann lautet die Ableitung der Funktion:
