Unbestimmter Ausdruck (Mathematik)

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Unbestimmter Ausdruck ist ein umgangssprachlicher Begriff, der manchmal im Schulmathematikunterricht benutzt wird. Die hier gegebene Definition ist von den Autoren erfunden.

[Bearbeiten] Problemdarstellung

Bei der Berechnung von Grenzwerten in der Mathematik kann es vorkommen, dass eine Verknüpfung von zwei Termen (z.B. der Quotient $sin(x) / x$ ) einen Grenzwert besitzt, der sich aber nicht als Verknüpfung der einzelnen Grenzwerte errechnen lässt (weil beide Terme $sin(x)$ und $x$ für $x\to 0$ den Grenzwert $0$ haben und der Quotient $0 / 0$ nicht definiert ist). In der mathematischen Umgangssprache nennt man die Verknüpfung der einzelnen Grenzwerte dann oft einen unbestimmten Ausdruck (z.B. „vom Typ $0 / 0$ “).

Zu den unbestimmten Ausdrücken in $x 0$ gehören folgende Typen von mathematischen Termen:

$\frac{f(x)}{g(x)}$ , mit $\lim_{x\to x_0}{f(x)} = \lim_{x \to x_0}{g(x)} = 0$
$\frac{f(x)}{g(x)}$ , mit $\lim_{x \to x_0}{f(x)} = \lim_{x \to x_0}{g(x)} = \infty$
$f(x) \cdot g(x)$ , mit $\lim_{x \to x_0}{f(x)} = 0$ und $\lim_{x \to x_0}{g(x)} = \infty$
$f (x) - g (x)$ , mit $\lim_{x \to x_0}{f(x)} = \lim_{x \to x_0}{g(x)} = \infty$ oder $\lim_{x \to x_0}{f(x)} = \lim_{x \to x_0}{g(x)} = -\infty$
$f (x) g (x)$ , mit $\lim_{x \to x_0}{f(x)} = 1, \lim_{x \to x_0}{g(x)} = \infty$
$f (x) g (x)$ , mit $\lim_{x \to x_0}{f(x)} = \lim_{x \to x_0}{g(x)} = 0$
$f (x) g (x)$ , mit $\lim_{x \to x_0}{f(x)} = \infty, \lim_{x \to x_0}{g(x)} = 0$

Durch mathematische Umformungen lassen sich die verschiedenen Typen unbestimmter Ausdrücke aufeinander zurückführen:

Im Falle eines unbestimmten Ausdrucks vom Typ 2 entsteht durch die Umformung $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}$ ein Ausdruck des Typs 1.

Ein Ausdruck des Typs 3 lässt sich durch die Umformung $f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$ zum Ausdruck des Typs 1 umwandeln.

Im Falle eines unbestimmten Ausdrucks vom Typ 4 entsteht durch die Umformung $f(x) - g(x) = \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)}\cdot\frac{1}{g(x)}}$ ein Ausdruck vom Typ 1.

Ausdrücke des Typs 5 bis 7 können durch Logarithmierung auf die bereits genannten Fälle zurückgeführt werden.

[Bearbeiten] Beispiele

Die mathematischen Funktionen $f (x) = sin(x)$ und $g (x) = x$ liefern einen unbestimmten Ausdruck des 1. Typs für $x \to 0$ , da gilt: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} g(x) = 0$ . Allerdings lässt sich der Limes auf andere Weise ermitteln, z. B. ergibt sich mit Hilfe der Regel von L'Hospital, dass $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ , wodurch die Unbestimmtheit aufgelöst werden kann.

Die mathematischen Funktionen $f(x) = 1 + \frac{1}{x}$ und $g (x) = x$ liefern einen unbestimmten Ausdruck des 5. Typs für $x \to \infty$ , da gilt: $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$ und $\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$ . Allerdings lässt sich der Limes auf andere Weise ermitteln und man erhält, dass $\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = \mathrm e$ (Eulersche Zahl), wodurch die Unbestimmtheit aufgelöst werden kann.