Vollkommen perfektes magisches Quadrat

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Ein vollkommen perfektes magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat mit folgenden Zusatzeigenschaften:

die Ordnung der Quadrate ist ein Vielfaches von 4
jedes 2x2-Unterquadrat (einschließlich jener, die durch Umbruch an den Seiten erzeugt werden können) ergeben dieselbe Summe 2(1 + n²)
für jeden Wert a liegt das Komplement 1 + n² - a dieses Wertes diagonal um n/2 versetzt

[Bearbeiten] Beispiele

384 vollkommen perfekte magische Quadrate in 1 bis 16 Darstellung und Farbkodierung: (16 & 1) – (9 & 8) – (5 & 12) – (3 & 14) – (2 & 15)

02	11	05	16	02	11	05	16	02	11
13	08	10	03	13	08	10	03	13	08
12	01	15	06	12	01	15	06	12	01
07	14	04	09	07	14	04	09	07	14
02	11	05	16	02	11	05	16	02	11
13	08	10	03	13	08	10	03	13	08
12	01	15	06	12	01	15	06	12	01
07	14	04	09	07	14	04	09	07	14
02	11	05	16	02	11	05	16	02	11
13	08	10	03	13	08	10	03	13	08

Jaina-Quadrat

02	11	14	07	02	11	14	07	02	11
13	08	01	12	13	08	01	12	13	08
03	10	15	06	03	10	15	06	03	10
16	05	04	09	16	05	04	09	16	05
02	11	14	07	02	11	14	07	02	11
13	08	01	12	13	08	01	12	13	08
03	10	15	06	03	10	15	06	03	10
16	05	04	09	16	05	04	09	16	05
02	11	14	07	02	11	14	07	02	11
13	08	01	12	13	08	01	12	13	08

05	11	14	04	05	11	14	04	05	11
10	08	01	15	10	08	01	15	10	08
03	13	12	06	03	13	12	06	03	13
16	02	07	09	16	02	07	09	16	02
05	11	14	04	05	11	14	04	05	11
10	08	01	15	10	08	01	15	10	08
03	13	12	06	03	13	12	06	03	13
16	02	07	09	16	02	07	09	16	02
05	11	14	04	05	11	14	04	05	11
10	08	01	15	10	08	01	15	10	08

Diese 4x4-Quadrate (ein beliebiger 4x4-Ausschnitt) sind teilweise seit dem 11. bzw. 12. Jahrhundert in Indien bekannt. Durch Verschiebungen (auch in Einzelschritten, jeweils auch nur eine Zeile oder eine Spalte), durch Drehen, Spiegeln bzw. durch die freie Kombination dieser Umwandlungen lassen sich 384 = 4!*16 Quadrate erzeugen. Die Umwandlungen (Transformationen) von einem Quadrat in ein anderes bilden eine nichtkommutative geschlossene Gruppe in Bezug auf deren Verknüpfung.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Veröffentlichte Arbeiten zu den Eigenschaften der vollkommen perfekten magischen Quadrate gibt es von Kathleen Ollerenshaw und David Brée sowie von T.V.Padmakumar, Indien.
Bei den 4x4-Quadraten gibt es eine eindeutige Zuordnung jedes Wertes zu seinen Nachbarn (oben, unten, rechts und links); siehe patterns. Diese "Nachbarschaftsrelation" lässt sich allgemein zu einem Algorithmus ausbauen, mit dem z.B. für Quadrate der Ordnung 2ⁿ insgesamt 2ⁿ!*2²ⁿ für n=2 und n=3 bzw. 16*2ⁿ!*2²ⁿ für n>3 vollkommen perfekte magische Quadrate generiert werden können, ohne Exhaustionsmethoden anzuwenden.

[Bearbeiten] Literatur

Kathleen Ollerenshaw, David Bree: Most-perfect Pandiagonal Magic Squares: Their Construction and Enumeration, Southend-on-Sea : Institute of Mathematics and its Applications, 1998, 186 Seiten, ISBN 090509106X